Свойства сходящихся последовательностей

31.

Определение.

Последовательностью называется множество чисел, перенумерованных с помощью натуральных чисел и расставленных в порядке возрастания их номеров x₁,x₂,...x_n
Числа x₁,x₂,...,x_n — называются элементами последовательности, символ x_n — общим элементом, а число n — его номером. Сокращенно последовательность обозначается символом {x_n}.

Свойства ограниченных последовательностей

• Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
• Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
• Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.
• У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
• Для любого наперёд взятого положительного числа ε все элементы ограниченной числовой последовательности , начиная с некоторого номера, зависящего от ε, лежат внутри интервала .
• Если за пределами интервала лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности , то интервал содержится в интервале .
• Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Определение. Арифметические действия.

Пусть даны последовательности {x_n} и {y_n}.

• Произведением последовательности {х_n} на число m назовем последовательность m·x₁, m·x₂, …, m·x_n, ….
• Суммой данных последовательностей назовем последовательность x₁ + y₁, x₂ + y₂, …, x_n + y_n, ….
• Разностью – последовательность x₁ − y₁, x₂− y₂, …, x_n− y_n, …,
• Произведением — последовательность x₁·y₁, x₂·y₂, … x_n·y_n,…
• Частным — последовательность если все члены последовательности {y_n} отличны от нуля.

Указанные действия над последовательностями символически записываются так:

• – m·{ x_n} = {m· x_n}
• – { x_n} + { y_n} = { x_n + y_n}
• – { x_n} - { y_n} = { x_n - y_n}
• – { x_n} · { y_n} = { x_n · y_n}
• – если y_n ≠ 0.

Т. Лемма

Если и , то .

Определение.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Если последовательность {x_n} сходится и имеет своим пределом число a, то символически это записывается так:

или x_n→ a при n → ∞

Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.

Последовательность (x_n) действительных чисел называется сходящейся, если существует действительное число a и для произвольного ε > 0 существует натуральное число m такое, что для всех n > m справедливо неравенство |x_n - a| < ε.

Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества X, имеющая предел в этом множестве.

Последовательностью имеющий конечный пределназывают сходящимися. В противном случае последовательность называют расходящимися. Среди них есть последовательности, которые расходятся в бесконечность. О них мы говорим, что они имеют бесконечный предел.

Свойства сходящихся последовательностей

• Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
• Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
• Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
• Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
• Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
• Если последовательность (x_n) сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность (1 / x_n), которая является ограниченной.
• Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
• Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
• Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
• Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
• Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
• Любую сходящуюся последовательность (x_n) можно представить в виде (x_n) = (a + α_n), где a — предел последовательности (x_n), а α_n — некоторая бесконечно малая последовательность.
• Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Определение.

Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху числовое множество Е R, называется его верхней гранью и обозначается β = sup E, то есть

1. x E: x ≤ β,
2. ε > 0 x E: x > β - ε.

Наибольшее среди всех чисел, ограничивающих числовое множество Е R, называется его нижней гранью и обозначается α = inf E, то есть

1. x E: x ≥ α,
2. ε > 0 x E: x < α + ε.

Т. Больцано – Вейерштрасса

Монотонно возрастающая (убывающая) ограниченная сверху (снизу) последовательность должна иметь предел.

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.