Тригонометрический ряд Фурье

Ряды Фурье

Периодические функции

Колебательные и вращательные движения деталей машин, акустические и электромагнитные колебания – примеры периодических процессов, математически описываемых периодическими функциями.

Определение. Функция называется периодической, если существует число такое, что для любого выполняется равенство . Число называется периодомфункции .

Некоторые основные свойства периодических функций:

1. Если – период функции, то каждое число вида nТ, где , также является периодом этой функции.

2. Сумма, разность, произведение, частное функций с периодом являются периодическими функциями с периодом .

3. Для постоянной функции любое число является периодом.

4. Если – интегрируемая периодическая функция с периодом , то при любом , т.е. интеграл по любому отрезку длины имеет одно и то же значение.

Обычно периодом функции называют её наименьший положительный период.

Непериодическую функцию , заданную на некотором отрезке длины , можно доопределить периодически на всю числовую ось, построив её периодическое продолжение –функцию с периодом , совпадающую с на интервале . При этом на концах интервала может не совпадать с .

В математике простейшие периодические функции – это тригонометрические функции и , период которых равен .

В физике простейшей периодической функцией считается гармоническое колебание («гармоника») ( ), где – амплитуда колебания, – круговая частота, – начальная фаза. Величина является периодом гармоники.

Тригонометрический ряд Фурье

Рассмотрим бесконечную последовательность гармоник , , , дополнив её постоянной . При число является периодом n-ой гармоники, поэтому по свойствам 1 и 3 величина , будучи кратной всем , является общим периодом всех гармоник последовательности, в том числе и .

Составим из последовательности гармоник функциональный ряд. Если он сходится, то его сумма будет периодической функцией с периодом . Для всех обозначим , и, положив , , преобразуем гармоники: . Запишем разложение функции в ряд:

. (1)

Ряд в правой части равенства (1) называется тригонометрическим рядом, а само равенство называется разложением функции в тригонометрический ряд. Оно даёт представление определяемого функцией периодического колебания в виде бесконечного ряда («бесконечной суммы») гармонических колебаний.

Пусть тригонометрический ряд (1) равномерно сходится к своей сумме на отрезке , длина которого равна периоду . Интегрируя разложение (1) почленно на отрезке , получаем:

. (2)

Умножая обе части равенства (1) на интегрируемые функции

и интегрируя почленно, точно так же получаем:

( ), (3)

( ). (4)

Определение. Коэффициенты разложения (1), определяемые по формулам (2) – (4), называются коэффициентами Фурье функции , а тригонометрический ряд с такими коэффициентами называется рядом Фурьефункции .

Частные случаи:

1. Если является чётной функцией на , то произведения являются чётными, а – нечётными, и по свойству определённого интеграла формулы (2) – (4) дают

, , ( ), (5)

вследствие чего ряд Фурье чётной функции имеет вид

, (6)

называемый рядом Фурье по косинусам.

2. Если – нечётная на функция, то

, , ( ), (7)

и ряд Фурье имеет вид ряда Фурье по синусам:

. (8)

Вопрос. Какими свойствами должна обладать функция , чтобы построенный для неё тригонометрический ряд Фурье сходился, и его сумма совпадала с в требуемых точках?

Определение. Функция называется кусочно-монотонной на отрезке , если его можно разбить точками на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция будет монотонной, то есть либо возрастающей, либо убывающей (см. рис.).

Кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке функция может иметь на нём разрывы только первого рода.

Теорема (Дирихле). Если периодическая функция с периодом является кусочно-монотонной и ограниченной на отрезке , то её тригонометрический ряд Фурье сходится во всех точках, и для его суммы выполняются равенства:

а) в точках непрерывности ;

б) в точках разрыва , где и – пределы соответственно слева и справа в точке .