Интегралы движения в методе Гамильтона

Рассмотрим полную производную функцию обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени :

Используем уравнения движения Гамильтона :

Здесь мы ввели обозначение:

- скобки Пуассона

Если , то . В этом случае мы можем сформулировать условие того, что функция интеграл движения:

Чтобы была интегралом движения, скобки Пуассона должны обращаться в нуль.

Скобки Пуассона и их свойства.

1.

2.

3.

4.

5.

6. тождество Якоби

7.

Докажем свойство 7:

используем свойства 5 и 6:

используем свойство 1:

используем свойство 3:

Теорема Пуассона:

Пусть и интегралы движения, это означает, что и , тогда согласно свойству 7:

=0

Скобки Пуассона интегралов движения являются интегралом движения. Если мы знаем интегралы движения, то с помощью скобок Пуассона можно получать более удобные формы интегралов движения.

Рассмотрим частные случаи скобок Пуассона:

1.

т.к. и , то

2.

3.

Учитывая , , , получаем:

4.

5.

6.

, , тогда:

7.

8. Здесь - компонента вектора - функции от координат и импульсов.

, здесь - скаляр.

, здесь - скалярная функция координат и времени.

Задачи

1. Определить скобки Пуассона, составленные из декартовых компонент импульса р и момента импульса материальной частицы.

Ответ: =-p_z

=0, =-p_y

2. Определить скобки Пуассона, составленные из компонент М.

Ответ: =-M_z, =-M_x , =-M_y.

3. Показать, что

=0, ,

где φ – любая скалярная функция координат и импульса частицы.

Указание. Скалярная функция может зависеть от компонент векторов r и pтолько в комбинациях r²,p², . Поэтому

и аналогично для .

4. Показать, что

= ,

где f – векторная функция координат и импульса частицы, а n – единичный вектор в направлении оси z.

Указание. Произвольный вектор f(r, p) может быть написан в виде где - скалярные функции

Малые колебания и свойства потенциальной энергии.

Рассмотрим систему с одной степенью свободы и исследуем функцию на экстремумы.

(отсюда получаем координаты точек равновесия для графика).

(21.1)

или ; ;

Итак: , т.к. , , , .

Отбросим в (21.1) слагаемые, начиная с третьего члена - получим параболический вид потенциальной энергии.

Если потенциальная энергия возрастает при удалении от положения равновесия, то в этом случае - точка устойчивого равновесия.

Рассмотрим точку

, - точка неустойчивого равновесия.

Колебания называются малыми, если в разложении последующие члены значительно меньше первых трёх:

Колебания, удовлетворяющие этому условию, называются линейными (гармоническими). Учёт последующих членов приводит к нелинейности или ангармоничности колебаний.