Основные теоремы о пределе функции

Теорема 4.1.Функция у = у(х) не может иметь более одного предела при х → .

Доказательство.Предположим противное, пусть функция у = у(х) при х → имеет два предела А₁ ≠ А₂. По свойствам бесконечно малых функций (б.м.ф.) у(х) = А₁ + a₁(х) и у(х) = А₂ + a₂(х), где a₁(х), a₂(х) – б.м.ф. при х → . Тогда А₁ + a₁(х) = А₂ + a₂(х) или А₁ – А₂ = a₁(х) – a₂(х). Но последнее равенство невозможно, т. к. в левой части стоит постоянная, отличная от нуля, а в правой – бесконечно малая функция.

Теорема 4.2.Если каждая из функций у = у(х), z = z(x) имеет предел при х → , то сумма, разность, произведение этих функций также имеют пределы, причём

1) (у(х) ± z(x)) = y(x) ± z(x);

2) (y(x) × z(x)) = y(x) × z(x),

если кроме того, z(x) ≠ 0, то частное имеет предел, причём

3) = .

Доказательство.Пусть y(x) = А, z(x) = В.

Тогда по свойствам б.м.ф. у(х) = А + a(х), z(x) = B + b(x), где a(х), b(х) – б.м.ф. при х → . Получаем:

1) у(х) ± z(x) = (А ± В) + (a(х) ± b(х)). По свойствам б.м.ф. a(х) ± b(х) – б.м.ф., поэтому (у(х) ± z(x)) = А ± В, т. е. (у(х) ± z(x)) = y(x) ± z(x);

2) y(x) × z(x) = (А + B + b(x) = А × В + a(х) × B + А × b(x) + a(х) × b(x). По свойствам б.м.ф. функция a(х) × B + А × b(x) + a(х) × b(x) – б.м.ф. при х → .

Поэтому (y(x) × z(x)) = АВ = y(x) × z(x);

3) Пусть В ≠ 0. Рассмотрим разность

− .

По свойствам б.м.ф. функция – б.м.ф. при х → .

Рассмотрим функцию = .

Очевидно, что = . Это означает, что для e, равного, например, найдутся х, расположенные вокруг точки такие, что │ − │< , т. е. − < − < , < < . Но это означает, что функция ограничена. Тогда по свойствам б.м.ф. произведение

– б.м.ф. при х → .

Обозначим её a₁(х), т. е. = a₁(х). Тогда + a₁(х). По свойствам б.м.ф. = = .

Следствие 4.1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е. если с = const, то (с × у(х)) = с у(х).

Следствие 4.2.Если у(х) = А, то для любого натурального числа m (у(х))^m = ( у(х))^m = A^m.

Теорема 4.3.Пусть три функции u = u(x), v = v(x), y = y(x) определены в некотором промежутке, содержащем точку . Если для любого х из этого промежутка выполняется неравенства u(x) £ y(x) £ v(x) и функции u = u(x), v = v(x) имеют одинаковые пределы при х → , то функция у = у(х) имеет тот же предел при х → .

Доказательство.Пусть u(x) = v(x) = A. Т. к. u(x) £ y(x) £ v(x), то u(x) − А £ y(x) − А £ v(x) − А.

По определению предела функции "e > 0 существуют d₁ > 0 и d₂ > 0 такие, что из неравенств 0 <│х − │< d₁ следует │u(x) − A│< e, а из неравенств 0 <│х − │< d₂ следует │v(x) − A│< e. Обозначим d = min{d₁, d₂}. Тогда для х, удовлетворяющих неравенствам 0 <│х − │< d следует −e < u(x) − A < e и −e < v(x) − A < e. Поэтому из неравенств u(x) − А £ y(x) − А £ v(x) − А следует −e < у(x) − A < e, т. е. │у(x) − A│< e. Это означает, что у(х) = А.

Теорема 4.4.Пусть функция у = f(x) определена в некотором промежутке, содержащем точку . Если при х → функция у = f(x) имеет положительный (отрицательный) предел, то найдётся такой промежуток вокруг точки , что для всех х из этого промежутка функция положительна (отрицательна).

Доказательство.Пусть f(x) = А. Это означает, что "e > 0 можно указать такое число d > 0, что при всех х, удовлетворяющих условию 0 <│х − │< d, выполняется неравенство │f(x) − A│< e, т. е. −e < f(x) − A < e.

Если А > 0, то взяв e = А из неравенства A − e < f(x), получим f(x) > A − e = = A − A = A > 0, т. е. f(x) > 0 при −d < x − < d, т. е. при − d < x < d + .

Если А < 0, то взяв e = − А, из неравенства f(x) < A + e получим f(x) < A + e = = A − A = A < 0, т. е. f(x) < 0 при − d < x < d + .

Эта теорема называется теоремой о сохранении знака функции, имеющей предел.

Теорема 4.5. Если функции u(x), v(x) определены в некотором промежутке, содержащем точку , и для всех х из этого промежутка, кроме х = , выполняется неравенство u(x) < v(x), причём функции u(x) и v(x) имеют пределы при х → . Тогда u(x) £ v(x).

Доказательство.Пусть u(x) = А, v(x) = В. Положим, что А > B. По теореме 4.2 (u(x) − v(x)) = А – В > 0. По теореме 4.4 найдётся промежуток вокруг точки такой, что для всех х из этого промежутка u(x) − v(x) > 0, т. е. u(x) > v(x), что противоречит условию.

Следовательно, предположение неверно и А £ В, т. е. u(x) £ v(x).

Замечательные пределы

Определение 4.1.Будем говорить, что отношение двух функций f(x)/g(x) есть неопределённость вида (или ) при х → , если числитель и знаменатель дроби – бесконечно малые функции (бесконечно большие функции) при х → . В этом случае о пределе отношения f(x)/g(x) при х → ничего определённого сказать нельзя: он может быть равен нулю, бесконечности, числу, отличному от нуля, а может и вовсе не существовать. Раскрыть эти неопределённости– значит вычислить предел отношения f(x)/g(x), если он существует, или доказать, что он не существует. Для раскрытия неопределённостей применяют различные методы.