Собственные значения и собственные векторы линейных операторов

Пусть V1 — подпространство n-мерного линейного пространства V и А — линейный оператор из L(V, V).
Определение 1. Пространство V1 называется инвариантным подпространством оператора А, если для каждого х, принадлежащего V1, элемент Ах также принадлежит V1.
Примерами инвариантных подпространств оператора А могут служить ker А и im A.
Определение 2. Число λ называется собственным значением оператора А, если существует ненулевой вектор х такой, что

Ах = λх. (5.30)

При этом вектор х называется собственным вектором оператора А, отвечающим собственному значению λ.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 5.8.Для того чтобы числоλбыло собственным значением оператора А, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения оператора А.
Следствие. Каждый линейный оператор имеет собственное значение.
Действительно, характеристическое уравнение всегда имеет корень (в силу основной теоремы алгебры).
Справедлива следующая теорема.
Теорема 5.9.Для того чтобы матрица А линейного оператора А в данном базисе {еk} была диагональной (напомним, что матрица называется диагональной, если все ее элементы, расположенные не на главной диагонали, равны нулю), необходимо и достаточно, чтобы базисные векторы еkбыли собственными векторами этого оператора.
Теорема 5.10. Пусть собственные значенияλ1,λ2,...,λроператора А различны. Тогда отвечающие им собственные векторы е1, е2,..., еpлинейно независимы.
Следствие. Если характеристический многочлен оператора А имеет n различных корней, то в некотором базисе матрица оператора А имеет диагональный вид.
Действительно, в рассматриваемом случае, согласно только что доказанной теореме, собственные векторы линейно независимы и поэтому могут быть выбраны в качестве базисных. Но тогда по теореме 5.9 в этом базисе матрица оператора А будет диагональной.

Билинейные и квадратичные функции и формы. Канонический вид квадратичной формы.

Билинейные формы

Понятие билинейной формы.

Определение 1. Числовая функция А(х, у), аргументами которой являются всевозможные векторы х и у вещественного линейного пространства L, называется билинейной формой, если для любых векторов х, у и z из L и любого вещественного числа λ выполняются следующие соотношения:

Собственные значения и собственные векторы линейных операторов - student2.ru

Простейшим примером билинейной формы может служить произведение двух линейных форм f(х) и g(y), определенных на векторах х и у линейного пространства L.
Определение 2. Билинейная форма А(х, у) называется симметричной (кососимметричной), если для любых векторов х и у линейного пространства L выполняются соотношения:

Собственные значения и собственные векторы линейных операторов - student2.ru

Справедливо следующее утверждение: любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной билинейных форм (см. п. 1 §9 гл.5).
2. Представление билинейной формы в конечномерном линейном пространстве. Пусть в n-мерном линейном пространстве L задана билинейная форма В(х, у). Выясним вопрос о представлении формы В(х, у) в случае, когда в L задан определенный базис е = (е1, е2,..., еn).
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 7.1. Билинейная форма В(х, у) при заданном в n-мерном линейном пространстве L базисе е =(е1, е2,..., еn) может быть однозначно представлена в следующем виде:

Собственные значения и собственные векторы линейных операторов - student2.ru

a ξi и ηi — координаты в базисе е векторов х и у соответственно.

Собственные значения и собственные векторы линейных операторов - student2.ru

элементы bij которой определены с помощью соотношений (7.4), называется матрицей билинейной формы В(х, у) в данном базисе е.
Замечание 1. Обратимся к вопросу о построении всех билинейных форм в данном конечномерном вещественном пространстве L. Ответ на этот вопрос следующий: любая квадратная матрица (bij) является в данном базисе е = (е1, е2,..., еn) матрицей некоторой билинейной формы.
Замечание 2. Если В(х, у) — симметричная (кососимметричная) билинейная форма, то матрица (7.5) этой формы в базисе е является симметричной (кососимметричной). Справедливо и обратное — если матрица (7.5) билинейной формы В(х, у) симметрична (кососимметрична), то и билинейная форма является симметричной (кососимметричной).
3. Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы. Рассмотрим в линейном пространстве L два базиса: е = (е1, е2,..., еn) и f = (f1, f2,..., fn). Пусть А(е) = (аij) и A(f) = (bij) — матрицы данной билинейной формы в указанных базисах.
Выясним вопрос о связи этих матриц, т. е. выясним вопрос о преобразовании матрицы aij билинейной формы при переходе от базиса е к новому базису f.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 7.2. Матрицы А(е) и A(f) билинейной формы А(х, у) в базисах е = (е1, е2,..., еn) и f = (f1, f2,..., fn) связаны соотношением

Собственные значения и собственные векторы линейных операторов - student2.ru

где С = (cpq) — матрица перехода от базиса е к базису f, а С' — транспонированная матрица С.
Следствие.Ранг матрицы A(f) равен рангу матрицы А(е).
Определение 1. Рангом билинейной формы, заданной в конечномерном линейном пространстве L, называется ранг матрицы этой формы в произвольном базисе пространства L.
Определение 2. Билинейная форма А(х, у), заданная в конечномерном линейном пространстве L, называется невырожденной (вырожденной), если ее ранг равен (меньше) размерности пространства L.

Определение квадратичной формы
Квадратичная форма переменных Собственные значения и собственные векторы линейных операторов - student2.ru - функция

Собственные значения и собственные векторы линейных операторов - student2.ru

Собственные значения и собственные векторы линейных операторов - student2.ru - коэффициенты квадратичной формы. Без ограничения общности считают Собственные значения и собственные векторы линейных операторов - student2.ru тогда

Собственные значения и собственные векторы линейных операторов - student2.ru

Если переменные Собственные значения и собственные векторы линейных операторов - student2.ru принимают действительные значения и Собственные значения и собственные векторы линейных операторов - student2.ru квадратичная форма называется действительной.


Матричная запись квадратичной формы

Матрица

Собственные значения и собственные векторы линейных операторов - student2.ru

называется матрицей квадратичной формы, ее ранг - рангом квадратичной формы. Квадратичная форма называется невырожденной, если Собственные значения и собственные векторы линейных операторов - student2.ru

Главные миноры матрицы A называются главными минорами квадратичной формы.

В пространстве Собственные значения и собственные векторы линейных операторов - student2.ru квадратичную форму можно записать в виде Собственные значения и собственные векторы линейных операторов - student2.ru где X - координатный столбец вектора Собственные значения и собственные векторы линейных операторов - student2.ru

В пространстве Собственные значения и собственные векторы линейных операторов - student2.ru квадаратичную форму можно представить в виде Собственные значения и собственные векторы линейных операторов - student2.ru где f - линейный самосопряженный оператор, матрица которого в некотором ортонормированном базисе равна A.

Канонический вид квадратичной формы
Квадратичная форма называется канонической, если все Собственные значения и собственные векторы линейных операторов - student2.ru т. е.

Собственные значения и собственные векторы линейных операторов - student2.ru

Наши рекомендации