Дербес туындылы теңдеулер. Сипаттауыштар. Коши есебі

теңдеуінің жалпы шешімін табу керек , мұндағыa_i, b – (х₁, …, x_n, u) белгілі функциялары. Ол үшін алдымен:

1) сипаттауыштар теңдеулер жүйесінің алғашқы интегралдарын табу керек

(*)

2) берілген дербес туындылы теңдеудің жалпы шешімі болатын алғашқы интегралдардан қандай да бір F(j₁, j₂, …j_n) функциясын құрастырамыз (j_I – тәуелсіз, i = 1, …, n).

Бірінші ретті дербес туындылы теңдеудің Коши есебі дегеніміз: (*) теңдеуінің (n – 1) -өлшемді S бетінде

S = {r(S): x₁(S₁, …, S_n-1), x₂(S₁, …, S_n-1), …, x_n(S₁, …, S_n-1)}

u/S = w(S₁, S₂, …, S_n-1) шартын қанағаттандыратын u(x₁, …, x_n) шешімін табу есебі.

Мысал 1. Теңдеудің жалпы шешімін тап:

Шешуі. Сипаттауыштар теңдеулер жүйесін құрастырып, оны шешеміз:

Алғашқы интеграл табылды: С₁ = ху + у².

Z = F(xy+y²) - функциясы теңдеудің жалпы шешімі болады, мұндағы F – кез келген дифференциалданатын функция.

Мысал 2.Теңдеуді шеш:

Шешуі. Сипаттауыштар теңдеулер жүйесін құрастырайық:

Алғашқы бөлшектер жұбы алғашқы интегралды береді: -ді екінші бөлшектер жұбына қоямыз, сонда:

Соңғы теңдеуді интегралдай отырып, екінші алғашқы интегралды аламыз:

Сонда жалпы шешім:

Мысал 3.Теңдеуді шеш:

Шешуі. Сипаттауыштар теңдеулер жүйесін құрастырып, оны шешеміз:

теңдеуінен алғашқы интегралды аламыз: .

бөлшектеріне тең бөлшектерді түрлендіру ережесін қолданайық:

Бұдан екінші алғашқы интегралды аламыз: С₂ = (½)ху - u.

және өрнектерін теңдеуіне қоямыз. Сонда:

Алынған сызықтық теңдеуді шешеміз:

Үшінші алғашқы интегралды аламыз:

Мысал 4. Коши есебін шеш:

y = 1.

Шешуі. Екі алғашқы интегралды табайық. Жүйе құрастырамыз:

Бұдан бірінші алғашқы интегралды табамыз: С₁ = х²у.

екенін ескере отырып теңдеуін шешсек, екінші алғашқы интегралды аламыз:

Екі алғашқы интегралға z = x², y = 1 қоямыз:

Бұл теңдеулер жұбынан х-ті жойсақ, алғашқы интегралдарды байланыстыратын келесі теңдеуді аламыз:

С₁ және С₂ орнына алғашқы интегралдарды қойсақ, Коши есебінің шешімін аламыз:

Мысал 5. Коши есебін шеш:

u = x² + y², z = 0.

Шешуі. - сипаттауыштар теңдеулер жүйесінің алғашқы интегралдарын табамыз:

Бастапқы шарттарды пайдалана отырып алғашқы интегралдарды байланыстыратын келесі теңдеулерді аламыз:

u = x² + y² Þ u = 2C₂(C₁² + 1).

С₁ және С₂ алғашқы интегралдарды қойсақ, Коши есебінің шешімін аламыз:

Тест сұрақтары

$$$1Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$2Теңдеуді шешіңіз: .

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$3 Теңдеуді шешіңіз: .

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$4Диф.теңдеудің жалпы шешімі?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$5Диф.теңдеудің дербес шешімі?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$6 Теңдеуді шешіңіз: .

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$7 Теңдеуді шешіңіз: .

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$8Белгісізі айырылған диф.теңдеу?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$9Белгісізі айырылатын диф.теңдеу?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$10 Теңдеуді шешіңіз: .

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$11 Теңдеуді шешіңіз: .

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$12 Біртекті диф.теңдеу?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$13 Біртектіге келтірілетін диф.теңдеу?

A) ;

B) ;

C)

D)

E)

$$$14 Теңдеуді шешіңіз: .

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$15 Теңдеуді шешіңіз: .

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$16 Бернулли теңдеуі?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$17 Теңдеуді шешіңіз: .

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$18 Диф.теңдеудің толық дифференциалдық болуының шарты?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$19 Жалпы интегралын табыңыз: .

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$20 теңдеуін функциясына көбейту арқылы толық дифференциалдыққа келтіруге болса, қалай аталады?

A) көбейткіш;

B) дифференциалдық көбейткіш;

C) интегралдаушы көбейткіш;

D) дифференциал;

E) туынды;

$$$21 Теңдеуді шешіңіз: .

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$22 Лагранж теңдеуі?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$23 Теңдеуді шешіңіз:

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$24 Клеро теңдеуі?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$25 Клеро теңдеуінің шешімі?

A) ;

B) ;

C) ;

D)

E) ;

$$$26Ретін төмендетуге болатын жоғарғы ретті диф.теңдеу?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$27 Теңдеуді шешіңіз:

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$28 Теңдеуді шешіңіз:

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$29 Жоғарғы ретті біртекті теңдеу?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$30 Жоғарғы ретті біртекті емес теңдеу?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$31 Вронский анықтауышы?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$32Екінші ретті тұрақты коэффициентті біртекті диф.теңдеу?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$33 . Жалпы шешімі?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$34 L(y)=f(x) теңдеуінің сәйкес L(y)=0 біртекті теңдеуінің жалпы шешімі белгілі болса, онда тәуелсіз тұрақтыларды С₁(х),....,С_n(x)-функцилар деп берілген теңдеуді қанағаттандыратындай етіп таңдап алу әдісі.

A) у₂=у₁z-алмастыруы арқылы іздейді;

B) у=с₁у₁+с₂у₂;

C) тәуелсіз тұрақтыларды вариациялау деп аталады;

D) фундаментальдық шешімдер жүйесі болады;

E) вронскиан- W(x)≠0;

$$$35 . Жалпы шешімі?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$36 Теңдеуді шешіңіз:

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$37 Теңдеуді шешіңіз:

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$38 Екінші ретті тұрақты коэффициетті біртекті емес диф.теңдеу?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$39 Теңдеуді шешіңіз:

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$40 Теңдеуді шешіңіз:

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$41Екінші ретті диф.теңдеуді шешудің Лагранж әдісі- ?

A) тәуелсіз тұрақты шаманы варияциалау;

B) алмастыру :у^!=р;

C) интегралдаушы көбейткішті қолдану;

D) ;

E) ;

$$$42Нормальдық диф.теңдеулер жүйесі:

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$43 Нормальдық тұрақты коэффициентті диф.теңдеулер жүйесі?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$44 y″-3y′+2y=x − дербес шешімі (k₁=1; k₂=2)?

A) y_g=x/2+3/4;

B) y_g=(-x/6-1/2)x²;

C) y=c₁e^-x+c₂e^-2x;

D) y=c₁e^-x+c₂e^x-1/2sinx;

E) y_g=x/2+3/4;

$$$45 у⁽ⁿ⁾=f(x) шешімін табу сатылары?

A) y^(n-1)=∫f(x)dx+c₁ ж.с.с. n-рет интегралдау;

B) y(k)=z, у(к+1)=z',….,осылайша ретін төмендету арқылы;

C) у'=dy/dx=p, у"=dp/dy.dy/dx=p'_·p,… реті төмендетіледі;

D) μ(х,у)-интегралдаушы көбейткіш δ(μМ)/δу=δ(μN)/δx қанағаттандыруы керек;

E) - өрнегі (x+y)-тің функциясы болуы керек;

$$$46 теңдеуінің реті?

A) 3-ші ретті;

B) 2-ші ретті;

C) 1-ші ретті;

D) 4-ші ретті;

E) 5-ші ретті;

$$$47 Теңдеуді шешіңіз: .

A) ;

B) ;

C) ;

D)

E) ;

$$$48 y¹-ysinx=ctgx теңдеудің типін анықтаныз?

A) Лагранж теңдеуі;

B) Клеро теңдеуі;

C) сызықтық тендеу;

D) біртекті теңдеу;

E) біртекті емес теңдеу;

$$$49 y′″-y=0 − шешімі?

A) y=c₁e^x+c₂e^2x;

B) y=c₁e^2x+c₂xe^2x;

C) y=c₁e^x+c₂e^-x/2cos√3/2x+c₃e^-x/2sin√3/2x ;

D) y=c₁cosx+c₂xcosx+c₃sinx+c₄xsinx;

E) y= 1/(1-x);

$$$50 . Мінездеме теңдеуі?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$51 теңдеуі ушін болса, теңдеуді біртектіге келтіретін алмастыру?

A) біртекті;

B) иә;

C) y/x=t(x);

D) х=u+x₀; у=v+y₀;

E) а₁х+в₁у=t(х) немесе а₂х+в₂у=t(x);

$$$52 шарты орындалса, m(x;y)dx+n(x;y)dy=0 қандай теңдеу?

A) Лагранж теңдеуі;

B) Клеро теңдеуі;

C) толық дифференциалдық тендеу;

D) біртекті теңдеу;

E) біртекті емес теңдеу;

$$$53 Теңдеуді шешіңіз y¹ =3x:

A)

B)

C)

D)

E) ;

$$$54 уу¹¹-(у¹)²=у³ теңдеуінің реті?

A) 3-ші ретті;

B) 2-ші ретті;

C) 1-ші ретті;

D) 4-ші ретті;

E) 5-ші ретті;

$$$55 . Дербес шешімдері?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$56 y¹¹+y=0. Жалпы шешімі?

A)

B)

C)

D)

E) ;

$$$57Бірінші ретті диф.теңдеу?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$58 Теңдеуді шешіңіз:

A)

B)

C)

D)

E) ;

$$$59 теңдеуінің типі?

A) белгісіздері айырылған теңдеуі;

B) Клеро теңдеуі;

C) толық дифференциалдық тендеу;

D) біртекті теңдеу;

E) біртекті емес теңдеу;

$$$60 теңдеуінің типі?

A) Лагранж теңдеуі;

B) Клеро теңдеуі;

C) сызықтық тендеу;

D) біртекті теңдеу;

E) біртекті емес теңдеу;

$$$61 . Жалпы шешімі?

A)

B)

C)

D)

E) ;

$$$62 Теңдеуді шешіңіз: ?

A)

B)

C)

D)

E) ;

$$$63 . Жалпы шешімі?

A)

B)

C)

D) ;

E) ;

$$$64 . Интегралдаушы көбейткіші?

A)

B)

C)

D)

E) ;

$$$65 . Қандай алмастыру керек?

A)

B)

C)

D)

E) ;

$$$66Р Теңдеуді шешіңіз: ?

A)

B)

C)

D)

E) ;

$$$67 алғашқы шарттары болса, қандай есептің шарттары?

A) Эйлера есебі;

B) Коши есебі;

C) Лагранж есебі;

D) Бернулли есебі;

E) Даламбер есебі;

$$$68 Тәуелсіз айнымалыны, белгісіз функцияны және ......... байланыстыратын теңдеу диф.теңдеу деп аталады.

A) интегралды;

B) функцияның туындысын;

C) тұрақты шаманы;

D) ;

E) ;

$$$69 Теңдеуді шешіңіз:

A)

B)

C)

D)

E) ;

$$$70 y″-4y′+4y=0 − шешімі?

A) y=c₁e^x+c₂e^2x;

B) y=c₁e^2x+c₂xe^2x;

C) y=c₁e^x+c₂e^x/2cos√3/2x+c₃e^x/2sin√3/2x ;

D) y=c₁cosx+c₂xcosx+c₃sinx+c₄xsinx;

E) y= 1/(1-x);

$$$71 , мінездеме теңдеудің m еселі түбірі болса, дербес шешімін қай түрде іздеу керек?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) , - копмүшелік;

$$$72 Теңдеуді шешіңіз:

A)

B)

C)

D)

E) ;

$$$73 теңдеуі қалай аталады?

A) интегралдық теңдеу;

B) 2-ші ретті диф.теңдеу;

C) 1-ші ретті диф.теңдеу;

D) квадраттық теңдеу;

E) интеграл;

$$$74 . Жалпы шешімі?

A)

B)

C)

D) ;

E) ;

$$$75 Теңдеуді шешіңіз:

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$76 Қайсысы біртекті диф.теңдеу?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$77 Теңдеуді шешіңіз: y

A) y=y ;

B) y= ;

C) y= xy;

D) y= ce ;

E)

$$$78 P(x)dx+Q(y)dy=0 теңдеуінің типі?

A) белгісіздері айырылған теңдеуі;

B) Клеро теңдеуі;

C) толық дифференциалдық тендеу;

D) біртекті теңдеу;

E) біртекті емес теңдеу;

$$$79 Теңдеуді шешіңіз: y

A) y= 2x +c;

B) y= ;

C) y= 6x ;

D) y= ;

E) ;

$$$80 Теңдеуді шешіңіз: y

A) y=2cx;

B) y= ce ;

C) y= ce ;

D) y= 2ce ;

E) ;

$$$81 Қайсысы біртекті диф.теңдеу?

A) y ;

B) y ;

C) y ;

D) ;

E) ;

$$$82 Қайсысы белгісіздерін айыруға болатын теңдеу?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$83 Теңдеуді шешіңіз

A) y= -Cosx;

B) y= -tgx;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$84 -де m-рет қайталанатын мінездеме теңдеудің түбірі болса, онда дербес шешімін...

A) ;

B) , мұндағы коэфф. табу керек;

C) түрінде іздейді;

D) -түрінде іздейді;

E) түрінде іздейді;

$$$85 . Жалпы шешімі?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$86 Теңдеуді шешіңіз:

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$87 L(y)=e^αx P_n(x)-теңдеуіндегі α-m рет қайталанатын мінездеме теңдеудің түбірі болса,дербес шешімін...

A) ;

B) , мұндағы коэфф. табу керек;

C) түрінде іздейді;

D) -түрінде іздейді;

E) түрінде іздейді;

$$$88 теңдеуінің типін анықтаңыз.

A) белгісіздері айырылған теңдеуі;

B) 2-ші ретті тұрақты коэффициетті сызықтық диф.теңдеу;

C) толық дифференциалдық тендеу;

D) біртекті теңдеу;

E) біртекті емес теңдеу;

$$$89Қайсысы толық дифференциалдық теңдеу?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$90Қайсысы Бернулли теңдеуі?

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$91 Теңдеуді шешіңіз:

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

$$$92 теңдеуіндегі -

шешімі болса, теңдеуді біртектіге келтіру үшін қолданылатын алмастыру?

A) біртекті;

B) иә;

C) y/x=t(x);

D) х=u+x₀; у=v+y₀;

E) а₁х+в₁у=t(х) немесе а₂х+в₂у=t(x);