Абсолютные и относительные показатели силы связи в уравнениях парной регрессии

Оценка параметров уравнения парной регрессии.

Эконометрические модели делятся на линейные и нелинейные.

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – а и b. Оценка параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами.Можно обратиться к полю корреляции и,выбрав на графике две точки,провести через них прямую линию,затем по графику найти значения параметров.Параметрaопределим как точку пересечения линии регрессии с осью oy ,а параметр bоценим исходя из угла наклона линии регрессии как dy/dx,где dy – приращение результата y,а dx – приращение фактора x,т.е.

= a+ bx

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК)

Линейная модель парной регрессии: у=bх+a+E

b - коэф-т регрессии, показывающий, как изменится у при изменении х на единицу

a - это свободный член, расчетная величина, содержания нет.

E - это остаточная компонента, т.е. случайная величина, независимая, нормально распределенная, мат ожид = 0 и постоянной дисперсией.

Присутствие e в модели свидетельствует о том, что функциональной зависимости м\у у и х нет. На изменение у оказывает влияние не только фактор х, но и какие-то др не учтенные моделью факторы.

Первой задачей регрессионного анализа явл получение значения параметров a и b. Найтэтои параметры мы не можем (пришлось бы обследовать ген совокупность), поэтому находим выборочные оценки этих параметров.

ŷ = a + b x

Для нахождения выборочных оценок используем метод НК

решением системы нормальных уравнений будет:

выборочные оценки для ур-я (1)

очевидно, что мин регрессия будет иметь место только в том случае, если , если хi совпадает с .

В этом случае зависимость отсутствует.

Нелинейная модель. уравнение зависимости между Уи Х может быть представлено степенной функцией У от Х, , показательной , гиперболической и д.р.

Для оценки параметров в этих случаях метод наименьших квадратов можно применять после логарифмирования, либо после введения новой переменной.

Для показательной функции:

lny=lna+xlnb

Y α β

Y = α + х β Þ а = еα; b=еβ

Для степенной функции

ln y=lna+bln x

Y α X

Y = α + β X

Для гиперболической функции

у=а+b/x

1/х=Х

У=а+bХ

Абсолютные и относительные показатели силы связи в уравнениях парной регрессии.

К показателям тесноты связи относятся:

1) коэффициент линейной корреляции

2) коэффициент детерминации.

3)коэффициент эластичности;

1.Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи.При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэф корреляции

Имеются разные модификации формулы линейного коэфкорреляции,например:

= =

или

Как известно,линейныйкоэф корреляции находится в границах -1

Если коэф регрессии b ,то 0

И наоборот ,при b -1

2)Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэф корреляции yx =

Соответственно величина 1- характеризует долю дисперсии y,вызванную влиянием остальных не учтенных в модели факторов.Линейныйкоэф корреляции по содержанию отличается от коэф регрессии.

3)Линейный коэф корреляции как измеритель тесноты линейной связи признаков логически связан не только с коэф регрессии b,но и с коэфэластичности,который является показателем силы связи,выраженным в процентах.При линейной связи признаков x и yсредний коэф эластичности в целом по совокупности определяется как

Коэффициент частной эластичности рассчитывается по формуле:

= т.е. его формула по построению близка к формуле линейного коэф корреляции

Несмотря на схожесть этих показателей,измерителем тесноты связи выступает линейный коэф корреляции ( ) ,а коэф регрессии (

И коэф эластичности ( – показатели силы связи; коэф регрессии является абсолютной мерой,т.к. имеет единицы измерения,присущие изучаемым признакам y иx ,а коэф эластичности – относительным показателем силы связи,потому что выражен в процентах.

Несмотря на всю важность измерителя тесноты свзяи,в эконометрике больший практический интерес приобретает коэф детерминации yx

,т.к. он дает относительную меру влияния фактора на рез-т,фиксируя одновременно и роль ошибок,т.е. случайных составляющих в формировании моделируемой переменной.Чем ближе коэф детерминации к 1,тем в большей степени уравнение регрессии пригодно для прогнозирования.