ТЕМА 4 Параллельность и перпендикулярность

Прямых и плоскостей

Вопросы самоконтроля.

1. Сформулируйте условие параллельности двух прямых в пространстве и на комплексном чертеже.

2. Сформулируйте условие параллельности прямой и плоскости в пространстве и на комплексном чертеже. Как построить прямую, параллельную данной плоскости?

3. Сформулируйте условие параллельности двух плоскостей в пространстве и на комплексном чертеже.

4. В чем сущность теоремы о проецировании прямого угла?

5. Сформулируйте условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве и на комплексном чертеже. Кратко запишите это условие.

6.Сформулируйте условие перпендикулярности двух плоскостей в пространстве и на комплексном чертеже. Кратко запишите это условие.

Упражнения

6.1.1 Провести прямую, параллельную прямой m и пересекающую прямую l в точке А.	6.1.2 Построить горизонтальную проекцию m, скрещивающейся с линией n. Построить конкурирующие точки, определить их видимость.
6.1.3 Через точку К провести прямую, параллельную плоскости S(А,l).	6.1.4 Провести плоскость , параллельную заданной плоскости АВС, через точки D. E. F. L.
6.1.7 На каком из чертежей изображена прямая n, перпендикулярная плоскости ∑?
6.1.5 Из точки А опустите перпендикуляр на плоскость β (АВС) и определить его основание и длину.	6.1.6Построить в точке А перпендикуляр к плоскости ∑ (m n) и отложите на нем отрезок

Задачи

6.2.3 Из точки А восстановить перпендикуляр к плоскости АВС и отложите на нем отрезок длиной l. Составить алгоритм решения задачи.

6.2.4 Определить расстояние от точки Е до плоскости ABCD.

6.2.1 Через точку А провести плоскость, параллельную заданной плоскости S.

а) б)

6.2.2 Через две скрещивающиеся прямые провести две параллельные плоскости.

1)

2)

6.2.5 Через точку М провести плоскость, перпендикулярную к двум данным плоскостям P(aIIb) и Q(ABC).

Примеры решения задач:

Задача 1 Определить расстояние от точки D до плоскости Σ(АВС).

Решение:Из геометрии известен признак перпендикулярности: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.Определить расстояние от точки D(D₁ D₂) до плоскости Σ(АВС). Построим в плоскости горизонталь и фронталь и через точку D проведем прямую , то есть D и . .

В общем случае нормаль n не ограничена. Но если определяется расстояние от точки D до плоскости, то на линии выделяется отрезок DE.

У которого точка называется основанием перпендикуляра. Она определена с помощью посредника :

Задача 2 Определить расстояние от точки А до прямой 1 общего положения

Решение: Для определения расстояния от точки А(А₁ А₂) до прямой l(l₁ l₂) общего положения на чертеже поступают так:

– Через точку А проводят плоскость , которую задают горизонталью и фронталью ; имеем ;

– Определяют точку

– Отрезок [AB]([A ₁B₁] [A₂ B₂]) равен расстоянию от точки А до прямой l в проекциях

Задача3 Через заданную прямую линию m провести плоскость ∆, перпендикулярную плоскости Σ (DEF).

Решение: Две плоскости взаимно перпендикулярны, если в любой из них можно построить прямую, перпендикулярную другой плоскости.

Если через прямую nÖa провести плоскость b, то плоскости a и b будут взаимно перпендикулярны.

Но через прямую линию n можно провести множество плоскостей, которые называют пучком плоскостей. Чтобы из этого пучка выделить конкретную плоскость b или g , достаточно в этой плоскости задать прямую , параллельную или пересекающуюся с n или точку В не принадлежащую прямой n.

Построим горизонталь h(h₂ (F₂ – 1₂ )→h₁ ) и фронталь f(f₁ (D₁ – 2₁ )→f₂ ) плоскости Выберем точку А на прямой l(А₂ Î l₂→А₁) и через нее проведем прямую nÖ(h∩f)(n₂ Öf₂. n₁ Öh₁). Так мы построим b(l∩n)Öa(DEF).

Если требуется выяснить перпендикулярность двух плоскостей, то нужно попытаться построить в одной из них прямую, перпендикулярную другой плоскости.

Дополнительные задачи

6.4.1 Построить недостающую проекцию отрезка СD, каждая точка которого равноудалена от точек А и В. Построить , если

6.4.2 Построить проекции равнобедренного треугольника KMN с основанием MN вершиной K, лежащей на прямой l .