Простейшие правила интегрирования

Первообразная функции, ее свойства. неопределенный

Интеграл. Простейшее интегрирование функций

Определение 1.Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е. .

Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции f(x ) требуется найти функцию F(x), производная которой равна f(x).

Первообразная определена неоднозначно: для функции первообразными будут и функция arctg x, и функция arctg x-10: .

Свойства первообразной

1. Если функция F(x) - первообразная для функции f(x) на интервале X, то функция f(x) + C, где C - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f(x) на этом интервале.

2. Если функция F(x) - некоторая первообразная для функции f(x) на интервале X=(a,b), то любая другая первообразная F₁(x) может быть представлена в виде F₁(x) = F(x) + C, где C - постоянная на X функция.

3. Для любой первообразной F(x) выполняется равенство dF(x) = f(x) dx.

Из этих свойств следует, что если F(x) - некоторая первообразная функции f(x) на интервале X, то всё множество первообразных функции f(x) (т.е. функций, имеющих производную f(x) и дифференциал f(x) dx) на этом интервале описывается выражением F(x) + C, где C - произвольная постоянная.

Неопределённый интеграл и его свойства

Определение 2. Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .

Если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то , где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением.

Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:

1. .

2. (или ).

Таблица неопределённых интегралов

	.
	.
	( ).
	.
	; .
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	.
	; .

Любая непрерывная функция имеет первообразную и, как следствие, неопределённый интеграл. При изучении дифференцирования было установлено, что с помощью таблицы производных и правил дифференцирования без труда можно получить производную любой элементарной функции, и эта производная тоже будет элементарной функцией. Операция интегрирования этим свойством не обладает: даже относительно простые функции могут иметь первообразные, которые через элементарные функции не выражаются.

Доказано, что не берутся в элементарных функциях следующие интегралы, относящиеся к классу специальных функций:

- интеграл Пуассона;

, - интегралы Френеля;

, , - интегральные синус, косинус, логарифм.

Простейшие правила интегрирования

1. ( );

2. ;

Пример 1

Пример 2.

3. Подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого: если , то .

Пример 3

.

4. Подведение под знак дифференциала постоянного множителя: если , то .

Пример 4

.

Приёмы 3, 4 легко комбинируются: если , то:

.

Пример 5

.