Простейшие правила интегрирования
Первообразная функции, ее свойства. неопределенный
Интеграл. Простейшее интегрирование функций
Определение 1.Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е. .
Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции f(x ) требуется найти функцию F(x), производная которой равна f(x).
Первообразная определена неоднозначно: для функции первообразными будут и функция arctg x, и функция arctg x-10:
.
Свойства первообразной
1. Если функция F(x) - первообразная для функции f(x) на интервале X, то функция f(x) + C, где C - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f(x) на этом интервале.
2. Если функция F(x) - некоторая первообразная для функции f(x) на интервале X=(a,b), то любая другая первообразная F1(x) может быть представлена в виде F1(x) = F(x) + C, где C - постоянная на X функция.
3. Для любой первообразной F(x) выполняется равенство dF(x) = f(x) dx.
Из этих свойств следует, что если F(x) - некоторая первообразная функции f(x) на интервале X, то всё множество первообразных функции f(x) (т.е. функций, имеющих производную f(x) и дифференциал f(x) dx) на этом интервале описывается выражением F(x) + C, где C - произвольная постоянная.
Неопределённый интеграл и его свойства
Определение 2. Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .
Если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то , где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением.
Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:
1. .
2. (или
).
Таблица неопределённых интегралов
![]() | |
![]() | |
![]() ![]() | |
![]() | |
![]() ![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() ![]() |
Любая непрерывная функция имеет первообразную и, как следствие, неопределённый интеграл. При изучении дифференцирования было установлено, что с помощью таблицы производных и правил дифференцирования без труда можно получить производную любой элементарной функции, и эта производная тоже будет элементарной функцией. Операция интегрирования этим свойством не обладает: даже относительно простые функции могут иметь первообразные, которые через элементарные функции не выражаются.
Доказано, что не берутся в элементарных функциях следующие интегралы, относящиеся к классу специальных функций:
- интеграл Пуассона;
,
- интегралы Френеля;
,
,
- интегральные синус, косинус, логарифм.
Простейшие правила интегрирования
1. (
);
2. ;
Пример 1
Пример 2.
3. Подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого: если , то
.
Пример 3
.
4. Подведение под знак дифференциала постоянного множителя: если , то
.
Пример 4
.
Приёмы 3, 4 легко комбинируются: если , то:
.
Пример 5
.