Законы распределения случайных величин

MathCad использует несколько функций для работы с распространенными законами распределения случайных величин. Эти функции распадаются на три класса:

§ плотность распределения вероятности f(x). Эта функция показывают отношение вероятности того, что случайная величина попадает в малый диапазон значений dx, к величине этого интервала;

Плотность распределения вероятности - производная от соответствующей функции распределения

f(x) = F¢ (x) ;

§ функция распределения F(x) определяет вероятность того, что случайная величина X будет принимать значение, меньшее фиксированного числа x, т.е.

F(x) = P(X < x)

§ обращение функций распределения позволяет по заданной вероятности p вычислить такое значение x, что P (Х < x) = p.

В таблице 6.2 приведены эти три класса функций для наиболее часто используемых законов распределения случайных величин. На рисунке 6.1 изображена связь между плотностью вероятности и функцией распределения случайной величины.

Рисунок 6.1 - Пример использования функций для работы
с законами распределения случайных величин

Таблица 6.2 - Функции для работы с различными
законами распределения случайных величин.

Вид распределения	Плотность распределения	Функция распределения	Обращение функции распределения
Биноминальное	dbinom (k, n, p)	pbinom (k, n, p)	qbinom (p, n, r)r - вероятность успеха в одиночном испытании
ХИ - квадрат	dchisq (x, d)	pchisq (x, d)	qchisq (p, d)
Нормальное	dnorm (x, m, s) s > 0	pnorm (x, m, s)	qnorm (p, m, s)
Пуассона	dpois (k, l) l > 0	ppois (k,l)	qpois (p,l)
t - распределение Стьюдента	dt (x, d)   d > 0	pt (x, d)	qt (p, d)
Равномерное	dunif (x, a, b)	punif (x, a, b)	qunif (p, a, b)

Функция hist

Для вычисления частотного распределения, применяемого при построении гистограмм в MathCad существует функция

hist (int, A),

которая возвращает вектор, представляющий частоты, с которыми величины, содержащиеся в векторе А, попадает в интервалы, определяемые вектором int. Элементы в А и int должны быть вещественными. Элементы вектора int должны быть расположены в порядке возрастания. Возвращаемый результат - вектор, содержащий на один элемент меньше, чем int.

MathCad интерпретирует int как набор точек, определяющих последовательность интервалов в гистограмме. В возвращаемом функцией hist векторе f, f _i - есть число значений val из A, удовлетворяющих условию:

int_i ≤ val < int_i+1

Данные, меньшие чем первое значение в int и большие, чем последнее значение - игнорируются. На рисунке 6.2 показан пример использования гистограммы в MathCad.

Рисунок 6.2 - Пример использования гистограмм в MathCad

Случайные числа

В MathCad существует набор функций для генерирования случайных чисел, имеющих разнообразные распределения вероятностей. Во всех этих функциях, представленных в таблице 6.3, первый аргумент m есть число случайных точек, содержащихся в векторе, который возвращает соответствующая функция, остальные аргументы - параметры распределения.

Таблица 6.3 - Функции для генерирования случайных чисел

Вид распределения	Функция
Биноминальное	rbinom ( m, n, p )
ХИ - квадрат	rchisq ( m, d )
Нормальное	rnorm ( m, µ, σ )
Пуассона	rpois ( m, l)
Стьюдента	rt ( m, d )
Равномерное	runif ( m, a, b ) rnd ( x ) эквивалентно runif ( 0, 1, x )

Каждый раз, когда повторно вычисляется выражение, содержащее одну из этих функций, MathCad генерирует новые случайные числа. Чтобы заставить MathCad получить новые случайные числа в уже использованном выражении, нужно щелкнуть мышью на этом выражении и нажать клавишу [ F9 ].

Любая последовательность случайных чисел всегда связана с некоторым начальным значением. Каждое нажатие [ F9 ] заставляет функцию выдать новое значение из этой последовательности. Одно и то же начальное значение производит одинаковые последовательности чисел. Изменение начального значения приводит к смене последовательности случайных чисел, выдаваемых функцией.

Чтобы изменить это значение, нужно выбрать команду Математика/Параметры/Переменные и изменить начальное значение в диалоговом окне.

Чтобы перезапустить генератор случайных чисел MathCad, не изменяя стартового значения, нужно выбрать команду Математика/Параметры/Переменные и нажать “ОК”, чтобы принять текущее значение. Затем необходимо выделить щелчком мыши выражение с функцией, генерирующей случайное число и нажать [ F9 ].

Так как генератор случайных чисел был сброшен, MathCad будет производить те же самые случайные числа, которые генерировались бы после перезапуска MathCad.

Если нужно несколько раз использовать одну и ту же последовательность случайных чисел, необходимо сбрасывать генератор случайных чисел между вычислениями, как это было описано выше.

На рисунке 6.3 показан пример использования генератора случайных чисел, на рисунке 6.4 - как создать вектор случайных чисел, имеющих заданное распределение.

Рисунок. 6.3 - Равномерно распределенные случайные числа

Рисунок 6.4 - Вектор случайных чисел, распределенных по нормальному закону

СИМВОЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Кроме численного решения задач, MathCad может производить некоторые вычисления в аналитическом виде. Выражения можно аналитически разлагать на множители, производить дифференцирование и интегрирование, разлагать функции в ряд и т.д.

Есть два основных способа выполнить символьное преобразование выражений:

§ использование символьного знака равенства;

§ выполнение преобразований с помощью меню Symbolic(Символы).

Имеется весьма существенное различие между этими двумя способами преобразований. При использовании символьного знака равенства полученные результаты вычисляются заново всякий раз при внесении любых изменений в рабочий документ, точно так же как и для численных выражений. Результат, полученный с использованием меню, автоматически модифицироваться не будет. Чтобы получить новый ответ в этом случае, нужно снова выделить исходное выражение, которое только что изменили, и снова выбрать соответствующий пункт из меню Symbolic(Символы).

Не следует ожидать очень многого от работы с аналитическими выражениями, т.к. при работе с символьными вычислениями обнаружится, что, во-первых, многие вычисления могут быть выполнены только численно, а во-вторых еще больше вычислений возвращают такие длинные ответы, что оказывается удобнее выполнять их численно (попробуйте, например, аналитически решить уравнение x ³ + a x + 1 = 0 ).