Наслідки з нерівності Коші та задачі на відшукання найбільших та найменших значень

Повернемося до нерівності , де . Як було зауважено вище, знак рівності тут виконується тоді і тільки тоді, коли всі значення рівні. Звідси можна отримати два цікавих факти, які мають ряд застосувань.

1. Якщо добуток є сталою величиною, то сума приймає найменше значення. При це значення дорівнює .

2. Якщо сума є сталою величиною, то добуток приймає найбільше значення. При воно дорівнює .

Наведені міркування дозволяють доводити окремі нерівності з новими постановками задач.

Задача 1.8.1. Знайти найбільше і найменше значення функції

.

Розв’язання. Нехай , . Оскільки , то

.

Значення функції буде найменшим, коли найбільшим буде значення добутку .

Оскільки , то найбільше значення потрібно шукати при . Із нерівності Коші маємо . Але , тому . Найбільше значення прийматиме при . Тоді: і найменше значення функції буде .

Найменше значення очевидно буде при . При маємо , . Враховуючи ці значення, бачимо, що добуток буде мінімальним, оскільки приймає мінімальне значення, а - максимальне. Отже, при функція приймає найбільше значення

.

Таким чином, найбільшим значенням буде а найменшим .

Задача 1.8.3. Знайти найбільше значення виразу , якщо .

Розв’язання. Згідно з умовою вираз (а, отже, і ) прийматиме найбільше значення при = , тобто при . При цьому .

Задача 1.8.4. Знайти найменше значення виразу , якщо .

Розв’язання. Оскільки добуток виразів та є сталим (із умови випливає, що ), то вираз прийматиме найменше значення при = , тобто при . При цьому , звідки .

Задача 1.8.5. Знайти найбільше значення функції .

Розв’язання. При значення функції дорівнює 0. При запишемо вираз для функції у виді . Дослідимо, коли знаменник виразу найменший. Зауваживши, що добуток виразів та є сталим числом, робимо висновок, що знаменник найменший при , тобто при . Значення функції при цьому є максимальним і буде дорівнювати .

Задача 1.8.6. Довести, що для довільних чисел виконується нерівність

.

Доведення. Ми уже розглядали доведення даної нерівності, використовуючи нерівність Коші. Зупинимося на інших міркуваннях. Оскільки добуток чисел є сталою величиною, то їхня сума буде

.

Задача 1.8.7. Оцінити значення виразу .

Розв’язання. Нехай , . Тоді

і сума прийматиме найменше значення, коли добуток найбільший. Оскільки вираз є сталим, то максимальне значення буде при , тобто, коли або при . Значення заданого виразу у цьому випадку дорівнює . Одержали нижню оцінку виразу. Верхня оцінка випливає з нерівностей . Рівність досягається у точках .

Таким чином, .

Розділ 2.Застосування властивостей функцій при доведенні нерівностей