Наслідки з нерівності Коші та задачі на відшукання найбільших та найменших значень
Повернемося до нерівності
, де
. Як було зауважено вище, знак рівності тут виконується тоді і тільки тоді, коли всі значення
рівні. Звідси можна отримати два цікавих факти, які мають ряд застосувань.
1. Якщо добуток є сталою величиною, то сума
приймає найменше значення. При
це значення дорівнює
.
2. Якщо сума є сталою величиною, то добуток
приймає найбільше значення. При
воно дорівнює
.
Наведені міркування дозволяють доводити окремі нерівності з новими постановками задач.
Задача 1.8.1. Знайти найбільше і найменше значення функції
.
Розв’язання. Нехай ,
. Оскільки
, то
.
Значення функції буде найменшим, коли найбільшим буде значення добутку .
Оскільки , то найбільше значення
потрібно шукати при
. Із нерівності Коші маємо
. Але
, тому
. Найбільше значення
прийматиме при
. Тоді:
і найменше значення функції буде
.
Найменше значення очевидно буде при
. При
маємо
,
. Враховуючи ці значення, бачимо, що добуток буде мінімальним, оскільки
приймає мінімальне значення, а
- максимальне. Отже, при
функція приймає найбільше значення
.
Таким чином, найбільшим значенням буде а найменшим
.
Задача 1.8.3. Знайти найбільше значення виразу
, якщо
.
Розв’язання. Згідно з умовою вираз
(а, отже, і
) прийматиме найбільше значення при
=
, тобто при
. При цьому
.
Задача 1.8.4. Знайти найменше значення виразу , якщо
.
Розв’язання. Оскільки добуток виразів та
є сталим (із умови випливає, що
), то вираз прийматиме найменше значення при
=
, тобто при
. При цьому
, звідки
.
Задача 1.8.5. Знайти найбільше значення функції .
Розв’язання. При значення функції дорівнює 0. При
запишемо вираз для функції у виді
. Дослідимо, коли знаменник виразу найменший. Зауваживши, що добуток виразів
та
є сталим числом, робимо висновок, що знаменник найменший при
, тобто при
. Значення функції при цьому є максимальним і буде дорівнювати
.
Задача 1.8.6. Довести, що для довільних чисел виконується нерівність
.
Доведення. Ми уже розглядали доведення даної нерівності, використовуючи нерівність Коші. Зупинимося на інших міркуваннях. Оскільки добуток чисел є сталою величиною, то їхня сума буде
.
Задача 1.8.7. Оцінити значення виразу .
Розв’язання. Нехай ,
. Тоді
і сума прийматиме найменше значення, коли добуток найбільший. Оскільки вираз
є сталим, то максимальне значення буде при
, тобто, коли
або при
. Значення заданого виразу у цьому випадку дорівнює
. Одержали нижню оцінку виразу. Верхня оцінка випливає з нерівностей
. Рівність досягається у точках
.
Таким чином, .
Розділ 2.Застосування властивостей функцій при доведенні нерівностей