Случайные величины и независимы. Найти дисперсию случайной величины , если из- известно, что , . 8 страница
величина Y приняла значение Y = 1, достаточно, чтобы величина X
приняла значение Х = —1 или Х = 1. Последние два события несовместны,
их вероятности соответственно равны 0,3 и 0,2. Поэтому вероятность события Y = 1 по теореме сложения
P(Y = 1) = P (X = —1) + Р (Х = 1)=0,3+0,2 = 0,5.
Аналогично найдем вероятность возможного значения Y = 4:
P(Y = 4) = P (X = —2) + Р (Х = 2)=0,1+0,4 = 0,5.
Напишем искомый закон распределения величины Y:
Y 1 4
р 0,5 0,5
№376. Дискретная случайная величина X задана законом
распределения:
X 
p 0,2 0,7 0,1
Найти закон распределения случайной величины 
Решение.
Найдем возможные значения Y:
Итак, различным значениям X соответствуют одинаковые значения
Y. Это объясняется тем, что возможные значения X принадлежат
интервалу, на котором функция 
не монотонна.
Найдем вероятности возможных значений Y. Для того чтобы
величина Y приняла значение Y = 
, достаточно, чтобы величина X
приняла значение Х = или Х = . Последние два события несовместны, их вероятности соответственно равны 0,2 и 0,1. Поэтому вероятность события Y = по теореме сложения
P(Y = ) = P (Х = ) + Р (Х = )=0,2+0,1 = 0,3.
Для того чтобы Y = 
достататочно, чтобы величина X приняла значение 
. Вероятность же события X= по условию равна 0,7. Следовательно, и вероятность события Y = также равна 0,7.
Напишем искомый закон распределения величины Y:
Y 1
р 0,3 0,7
№377. Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (a,b). Найти плотность распределения случайной величины Y = 3 Х.
Решение.
Так как функция у=3х дифференцируемая и строго
возрастает, то применима формула
(*)
где 
— функция, обратная функции у=3х.
Найдем :
=x=у/3.
Найдем 
:
(**)
Найдем производную 
Очевидно, что:
= 
(***)
Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) в (*): 
Так как x изменяется в интервале (a,b) и у=3х то 3a<y<3b
№378. Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (a,b). Найти плотность распределения случайной величины Y, еслиа) Y = 
3Х; б) Y=AX+B .
Решение.
a) Так как функция у= 3х дифференцируемая и строго
убывает, то применима формула
(*)
где — функция, обратная функции у= 3х.
Найдем :
=x= у/3.
Найдем :
(**)
Найдем производную
Очевидно, что:
= (***)
Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) в (*): 
Так как x изменяется в интервале (a,b) и у= 3х то 3b<y< 3a
б) Так как функция у= 
х+b дифференцируемая и строго
возрастает при a>0 (строго убывает при a<0), то применима формула
(*)
где — функция, обратная функции у= 
Найдем :
=x= 
.
Найдем :
(**)
Найдем производную
Очевидно, что:
= 
(***)
Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) в (*): 
Так как x изменяется в интервале (a,b) и у= ax+b, то
Aa+B<y<Ab+B, A>0 и Ab+B<y<Aa+B, A<0
№379.Случайная величина X распределена по закону Коши
Найти плотность распределения случайной величины 
Решение:
Так как функция 
дифференцируемая и строго
возрастает, то применима формула
(*)
где — функция, обратная функции у= 
Найдем :
Найдем :
= 
(**)
Найдем производную
Очевидно, что:
= 
(***)
Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) в (*):
№380. Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (0, 
). Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y, еслиа) Y = 
; б) Y= 
;
в) Y = 
; г) Y = 
; д) Y = 
;
Решение:
Т.к. все функции в примерах а)-д) дифференцируемы и строго возрастают или строго убывают, то во всех случаях мы можем воспользоваться формулой:
(*),
где — функция, обратная данным функциям.
Найдем функцию для всех данных примеров.
а) =x=ln y
б) =x= 
в) =x= 
г) =x= 
д) =x= 
Для данных примеров найдем :
(**)
а) = 
б) = 
в) = 
г) = 
д) = 
Найдём производную для данных примеров
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
Очевидно, что:
(***)
а) = 
б) = 
в) = 
г) = 
д) = 
Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) в (*):
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
Так как x изменяется в интервале (0, ) то
а) 
б) 
в) 
г)
д)
№381. Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале ( 
, ). Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y, еслиа) Y = 
;
б) Y= 
; в) Y = 
; г) Y = 
; д) Y = 
; е) 
Решение:
Среди данных функций лишь функция в примере д) является дифференцируемой и строго возрастающей. Следовательно, применима формула:
(*)
где — функция, обратная функции у= 
Найдем :
Найдем :
(**)
Найдем производную
Очевидно, что:
= 
(***)
Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) в (*):
,
так как 
, то 
Функции из примеров а)-в) и е) в интервале возможных значений X не являются монотонными, однако данные функции монотонны в двух интервалах ( 
) и ( 
). Тогда для вычисления плотности распределения случайной величины Y воспользуемся формулой:
(*),
где 
– функция обратная данной в интервале ( ), 
- обратная функция в интервале ( ).
Найдем функции и для примеров а)-в) и е):
а) 
б) 
в) 
е) 
Найдем 
и 
: (**)
а) 
б) 
в) 
е) 
Очевидно, что 
= 
. Найдем : (***)
а) 
б) 
в) 
е) 
Подставляя (***) и (**) в (*) получим:
а) 
б) 
в) 
е) 
В примере г) функция является периодической, с периодом 2 
, поэтому рассмотрим данную функцию на интервале 
.
На данном интервале функция не является монотонной, однако данная функция является монотонной на двух интервалах 
и 
. Тогда для вычисления плотности распределения случайной величины Y воспользуемся формулой:
(*),
где – функция обратная данной в интервале , - обратная функция в интервале .
Найдем функции и :
Найдем и : (**)
Очевидно, что = . Найдем : (***)
Подставляя (***) и (**) в (*) получим:
Обобщим теперь данную формулу на интервал ( , ),получим:
№382. В прямоугольной системе координат хОу из точки А (4; 0) наудачу (под произвольным углом t) проведен луч, пересекающий ось Оу. Найти дифференциальную функцию g(y) распределения вероятностей ординаты у точки пересечения проведенного луча с осью Оу.
Решение:
Угол t можно рассматривать как случайную величину, распределенную равномерно в интервале 
, причем в этом интервале плотность распределения
вне рассматриваемого интервала f(t)=0.
Из рисунка 1 следует, что ордината у связана с углом t следующей зависимостью: y=4tg t .Эта функция в интервале монотонно
возрастает, поэтому для отыскания искомой плотности распределения g(y) применима формула.
(*)