Доказать, что математическое ожидание дискретной случайной величины заключено между наименьшим и наибольшим ее возможными знаениями

Решение:

Пусть Х – дискретная случайная величина, заданная законом распределения:

Обозначим наименьшее и наибольшее значения соответственно через и . Тогда

Итак,

Аналогично можно вывести, что

Объединяя, получим

Ч.Т.Д.

Дискретная случайная величина принимает положительных значений , , …, с вероятностями, равными соответственно , , …, . Предполагая, что возможные значения записаны в возрастающем порядке, доказать, что

Решение:

Принимая во внимание, что и , получим

Так как по условию возможные значения записаны в возрастающем порядке, т. е. , то

и .

Следовательно,

Предположение доказано.

Доказать, что если случайные величины , ,… независимы, положительны и одинаково распределены, то

Решение:

Введем в расмотрение случайные величины

, , … , .(*)

Заметим, что знаменатели этих дробей не могут быть равными нулю, поскольку величины ( ) положительны.

По условию, величины одинаково распределены, поэтому также одинаково распределены и, следовательно, имеют одинаковые числовые характеристики, в частности, одинаковые математические ожидания:

(**)

Легко видеть, что , следовательно,

.

Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, поэтому

.

В силу (**) имеем . Отсюда .

Учитывая (*), окончательно получим

.

Что и требовалось доказать.

Доказать, что если случайные величины , , , независимы, положительны и одинаково распределены, то

.

Решение:

Введем в расмотрение случайные величины

, , … , .(*)

Заметим, что знаменатели этих дробей не могут быть равными нулю, поскольку величины ( ) положительны.

По условию, величины одинаково распределены, поэтому также одинаково распределены и, следовательно, имеют одинаковые числовые характеристики, в частности, одинаковые математические ожидания:

(**)

Легко видеть, что , следовательно,

.

Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, поэтому

.

В силу (**) имеем . Отсюда .

Учитывая (*), окончательно получим

.

Что и требовалось доказать.

№207 Найти математическое ожидание дискретной случайной величины , распределенной по закону Пуассона:

Решение:

По определению математического ожидания для случая, когда число возможных значений есть счетное множество,

.

Учитывая, что при первый член суммы равен нулю, примем в качестве наименьшего значения единицу:

Положив , получим

Принимая во внимание, что , окончательно имеем

.

Итак,

,

т.е. математическое ожидание распределения Пуассона равно параметру этого распределения λ.