Интервал, отрезок, промежуток

Основные сведенья из теории

Интервал, отрезок, промежуток

1. Если и —действительные числа и меньше , то совокупность всех действительных чисел , подчиняющихся условию , образует интервал. Левым концом интервала является число , а первым его концом – число . Обозначается интервал .

С геометрической точки зрения интервал представляет собой совокупность всех точек прямой, находящихся между точками и в интервал не включается.

На фиг.1,1 представлен интервал. Стрелки показывают, что точки и не принадлежат интервалу .

Фиг 1.1

2. Если к интервалу присоединить числа и , то получим отрезок , который обозначается символом .Таким образом, под отрезком понимаетсясовокупность всех действительных чисел , подчиняющихся условию .

Геометрически отрезок есть отрезок прямой с концами на точках и .

Различие между интервалом и отрезком состоит в том, что в случае интервала числа и ему не принадлежит, а в случае числа и ему принадлежат

На фиг 1.2 представлен отрезок

Фиг.1.2

3. Под символом следует понимать совокупность всех действительных чисел , подчиняющихся условию , т.е. рассматривается все действительные числа, содержащееся между числами и , причем число рассматривается, а число —нет(фиг.1.3)

Под символом же понимается совокупность всех действительных чисел , подчиняющихся условию , т.е.

Фиг.1.3

Рассматриваются все действительные числа, содержащиеся между числами и , причем число не рассматриваются, а число рассматриваются (фиг. 1.4).

Фиг.1.4

Каждая из совокупностей чисел и Называется полуотрезком[1]

4.В том случае, когда безразлично, принадлежат или граничные точки и рассматриваемым совокупностями или нет, вместо терминов «интервал» и «отрезок» употребляется термин «промежуток».

Пример 1.Интервал (5,9) есть совокупность всех действительных чисел , удовлетворяющих условию .

Пример 2.Отрезок есть совокупность всех действительных чисел , удовлетворяющих условию .

Пример 3.Совокупность всех действительных чисел , для которых , есть промежуток .

Пример 4. Совокупность всех действительных чисел , подчиняющихся условию , есть промежуток .

3. Если рассматривается совокупность всех действительных чисел, то это записывается так: или .

Под записью , или следует понимать, что рассматривается совокупность всех действительных чисел , больших, чем , а если под записью , или , понимается совокупность всех действительных чисел , не меньших (когда мы говорим «число не меньше числа », то это значит, что это число или больше или равно ).

Запись или означает, что рассматриваются все действительные числа , меньше числа , а запись или следует понимать так, что рассматривается совокупность всех действительных чисел , не больших числа (когда говорят, что число не меньше числа , то это значит, что это число или меньше или равно ). Интервалы, рассмотренные в этом пункте, называются бесконечными.