Глава 10. Построение кривой переходного процесса

Общие соображения

Построение переходных процессов в САУ, вызванных основными для данной системы воздействиями, является завершающим этапом исследования системы.

При нахождении переходного процесса в системе автоматического регулирования возникают две трудности.

Первая трудность - принципиального характера - заключается в том, что в реальных САР управляющие и возмущающие воздействия не являются известными функциями времени, а носят случайный характер. В связи с этим приходится рассматривать некоторые типичные воздействия. Причем, их выбирают такими, чтобы они были по возможности близкими к реальным воздействиям в САР.

Для следящих систем при g(t)=0 и систем стабилизации переходный процесс может строиться для случая приложения возмущающего воздействия, В качестве типовых используются возмущающие воздействия в виде единичной ступенчатой функции и в виде единичной импульсной функции. Эти возмущения рассмотрены нами на предыдущих лекциях,

Вторая трудность - непринципиального характера - заключается в том, что обычно САР описывается дифференциальными уравнениями сравнительно высокого порядка. Это усложняет практические расчеты; поэтому для облегчения задачи построения кривой переходного процесса во многих случаях приходится пользоваться приближенными методами, а также применять вычислительный устройства как непрерывного, так и дискретного действия.

Существует три группы методов построения переходных процессов: аналитические методы, графические методы и построение переходных процессов с помощью вычислительных машин (машинные методы).

Аналитические методы

Основаны на решении дифференциального уравнения системы

D(p)x(t) = M(p)f(t) (10.1)

Решением линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами будет выражение вида:

x(t) = x_п(t) + x_в(t) (10.2)

где x_п(t) - общее решение однородного дифференциального уравнения D(p)x(t) = 0, имеющее вид:

(10.3)

причем c₁, ..., c_n - произвольные постоянные, определяемые из начальных условий процесса, а p₁, ..., p_n - корни характеристического уравнения D(p) = 0.

Частное или вынужденное решение x_в(t) определяется правой частью уравнения (10.1) и оно соответствует некоторому установившемуся режиму в системе, который будет существовать после затухания x_п(t).

Таким образом, в общем случае мы имеем дело с задачей решения неоднородного дифференциального уравнения.

Для типового входного воздействия в виде единичной ступенчатой функции решение неоднородного уравнения (10.1) может быть сведено к решению уравнения без правой части переходом к другой переменной.

Примем, что f(t)=1(t), причем единица имеет размерность переменной, стоящей в правой части (10.1), а и . С учетом этого, (10.1) примет вид:

(10.4)

Тогда установившееся значение переменной х при t®¥:

(10.5)

Это установившееся значение представляет собой частное или вынужденное решение неоднородного дифференциального уравнения (10.1), т.е. x_в(t) = x_уст.

Введем новую переменную:

z(t) = x(t) - x_в(t) = x(t) - x_уст. (10.6)

Решение неоднородного уравнения (10.1) для z(t) может быть записано в виде:

(10.7)

т.е. этому решению соответствует исходное дифференциальное уравнение без правой части (D(p)x(t) = 0).

Для отыскания решения этого уравнения также необходимо определить корни (полюсы) характеристического уравнения:

(10.8)

и постоянные интегрирования c₁, c₂, ..., c_n. Для определения постоянных интегрирования c₁, c₂, ..., c_n используется начальное условие: при t = 0, х(0) = х₀, х^’(0) = х₀^’ ... , х^(n-1)(0) = х₀^(n-1) . Начальные условия находятся на основании физических соображений из дифференциального уравнения (10.1). Дифференцируя (10.2) по времени n-1 раз и используя начальные условия, получают n алгебраических уравнений, куда входят n неизвестных постоянных времени. Таким образом, приходится иметь дело с двумя трудоемкими операциями: вычислением корней и отысканием постоянных интегрирования. Если первая операция может быть выполнена приближенными методами, то вторая является весьма трудоемкой. Задача несколько облегчается, если для решения использовать операторный метод и преобразование Лапласа. Напомним, что применяя прямое преобразование, мы заменяем операции дифференцирования и интегрирования оригинала алгебраическими действиями по отношению к изображениям. Затем путем применения обратного преобразования Лапласа получаем функцию х(t).

Следует отметить, что преобразование Лапласа применимо к функции х(t), если она удовлетворяет следующим условиям:

1) x(t) = 0, если t < 0

2) можно выбрать такое положительное число с, при котором .

Для отыскания оригинала х(t) по его изображению X(р) можно пользоваться таблицами изображений и существующими теоремами, в частности теоремой разложения, которая устанавливает следующее: если изображение Лапласа имеет вид отношения двух многочленов:

(10.9)

то при отсутствии нулевых корней знаменателя:

(10.10)

где р_1,2 - некратные корни знаменателя (10.9).

Если знаменатель изображения Лапласа имеет нулевой корень (р₀ = 0), то изображение надо представить в виде:

(10.11)

Тогда оригинал может быть найден по формуле:

(10.13)

Как видно из выражений (10.9-10.13), операторный метод также имеет ограниченные возможности и применим, если достаточно просто находятся корни характеристического уравнения. В противном случае применяют графические методы.

Графические методы

Графические методы основаны на применении частотных и переходных характеристик. Рассмотрим метод приближенного построения кривой переходного процесса в автоматической системе по заданной вещественной частотной характеристике замкнутой системы.

Переходный процесс при единичном внешнем воздействии для нулевых начальных условий можно получить, определив интеграл:

(10.14)

Вычислить этот интеграл в общем случае черезвычайно сложно, поэтому обычно используют приближенный способ, основанный на аппроксимации вещественной частотной характеристики P(v) несколькими линейными участками. Затем вещественную частотную характеристику представляют в виде суммы типовых трапеций. Для каждой из трапеций по таблицам строят кривые, применяя свойства вещественной частотной характеристики.

Рисунок 10.1. Аппроксимация вещественной частотной характеристики P(v) несколькими линейными участками

Трапециидальная характеристика определяется высотой Р(0) при частоте v=0, интервалом равномерного пропускания v_о, интервалом положительности v_п и коэффициентом наклона

(10.15)

При этом:

(10.16)

Для упрощения последующих вычислений принимают Р(0) = 1, w_п = 1, т.е. вводят понятие единичной трапеции P_m¹(v), для которой справедливо выражение:

(10.17)

где t = v_пt - безразмерное время,

- интегральный синус.

Существуют типовые универсальные таблицы h-функций для различных значений c. Для известного значения c реальной трапециидальной ВЧХ Р(v) по таблице h-функций составляют таблицу переходной функции h_о(t), соответствующей единичной трапеции. После этого, используя свойства Р(v), пересчитывают масштабы и получают функцию переходного процесса (умножают значения h_о на Р(0) и делят время t на v_п). Результаты пересчета h_о(t) записывают в таблицу h(t) переходной функции, по которой строят переходную характеристику при единичном воздействии.