Метод наименьших квадратов

В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами , где – общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности.

Рис. 12

При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, многочлен), которая позволила бы «сгладить» экспериментальные погрешности, вычислить значения функции в точках, не содержащихся в исходной таблице.

Эта функциональная зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. В качестве критерия точности чаще всего используют критерийнаименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость , при которой обращается в минимум. Погрешность приближения оценивается величиной . В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен . Формула минимизируемой функции примет вид . Условия минимума можно записать, приравнивая нулю частные производные по всем переменным, .

Получим систему уравнений

или , .

Эту систему уравнений перепишем в следующем виде:

, .

Введем обозначения: . Последняя система может быть записана так: , .

Её можно переписать в развернутом виде:

.

Матричная запись системы имеет следующий вид: . Для определения коэффициентов , и, следовательно, искомого многочлена, необходимо вычислить суммы и решить последнюю систему уравнений. Матрица этой системы является симметричной и положительно определенной.

Погрешность приближения в соответствии с исходной формулой составит

. Рассмотрим частные случаи и .

Линейная аппроксимация .

.

;

, .

Отсюда система для нахождения коэффициентов имеет вид:

.

Её можно решить методом Крамера.

Квадратичная аппроксимация .

.

.

.

, .

Или в развёрнутом виде

Решение системы уравнений находится по правилу Крамера.