Приведение матричной игры к задаче линейного программирования

Игра mxn в общем случае не имеет геометрической интерпретации. Ее решение трудоемко при больших m и n, однако трудностей не имеет, так как может быть сведено к решению ЗЛП.

Пусть игра mxn задана платежной матрицей Р=(a_ij) i=1,2,…,m; j=1,2,…,n. которой имеет размерность m´n. Игрок А располагает стратегиями A_i, (i=1,2,...,m), а игрок В - стратегиями В_j , (j= 1, 2, ... , n). Необходимо определить оптимальные стратегии S*_A= (р₁^*,р₂^*, …, р_m^*) и S*_B= (q₁^*, q₂^*, ... ,q_n^*), где р_i^* и q_j^* - вероятности применения соответствующих чистых стратегий А_i и В_j.

р₁^*+р₂^*+ …+ р_m^*=1 , q₁^*+ q₂^*+ ...+q_n^*=1.

Применение игроком А оптимальной стратегии S*_A должно обеспечить ему при любых действиях игрока В средний выигрыш не меньше цены игры v, т. е. необходимо выполнение соотношения j=1, 2, ... , n. Цена игры неизвестна, но полагаем v>0, этого можно добиться, сделав все элементы a_ij³0, прибавляя ко всем a_ij некоторое положительное число, величина которого равна абсолютному значению элемента, наименьшего среди всех отрицательных элементов матрицы.

Если игрок А применяет смешанную стратегию S*_A= (р₁^*,р₂^*, …, р_m^*) против любой чистой стратегии игрока В, то он получает средний выигрыш, или математическое ожидание выигрыша (т.е. элементы j-го столбца платежной матрицы почленно умножаются на соответствующие вероятности стратегий А₁,А₂,…,А_m и результаты складываются).

Для оптимальной стратегии S*_A все средние выигрыши не меньше цены игры, поэтому получаем систему неравенств (1)

Каждое из неравенств разделим на число v>0 и введем новые переменные (2)

Тогда система примет вид:

(3)

Цель игрока А – максимизировать свой гарантированный выигрыш, т.е. цену игры.

Разделив на v>0 равенство р₁+р₂+ …+ р_m=1, получаем, что переменные x_i (i=1,2,..,m) удовлетворяют условию х₁+х₂+ …+ х_m=1/v. Максимизация цены игры v эквивалентна минимизации величины 1/v, поэтому задача может быть сформулирована следующим образом: определить значения переменных x_i³0 так, чтобы они удовлетворяли линейным ограничениям (3) и при этом линейная функция обращалась в минимум. Это ЗЛП. Решая задачу, находим значения x_i и величину 1/v, затем получаем оптимальное решение р_i^*= vx_i (I=1,2,..,m) и оптимальную стратегию S*_A.

Для определения оптимальной стратегии S*_B= (q₁^*, q₂^*, ... ,q_n^*) следует учесть, что игрок В стремится минимизировать гарантированный выигрыш, т.е. найти . Стратегия S*_B должна обеспечить при любых стратегиях игрока А проигрыш, не превышающий величину v, т. е. необходимо выполнение соотношения i=1, 2, ... ,m, т.е. переменные q₁, q₂, ... ,q_n удовлетворяют неравенствам

Если обозначить y_j= j=1, 2, ... ,n, то получим

(4)

Элементы смешанных стратегий должны удовлетворять условиям

q₁+q₂+ ... +q_n=1.

Данные условия в новых переменных ( q_j=y_jv, j=1, 2, ... , n) получают следующий вид:

y₁+y₂+ ... +y_n= .

Игра свелась к ЗЛП: определить значения переменных y_i³0, которые удовлетворяют линейным ограничениям (4) и максимизируют функцию .

Решая задачу, находим значения y_i и величину 1/v, затем получаем оптимальное решение q_j^*= vy_j (j=1,2,..,n) и оптимальную стратегию S*_B.

Составив расширенные матрицы для задач, убеждаемся, что одна матрица получилась из другой транспонированием:

Таким образом, полученные для игроков А и В ЗЛП образуют симметричную пару двойственных задач. Свойство симметричности позволяет решать ту задачу, которая требует меньше вычислительных затрат, а решение второй задачи определяют на основании теорем двойственности. Очевидно, что искомая оптимальная цена игры для обеих игроков будет отыскиваться в следующем виде:

.

При решении произвольной конечной игры размера mxn рекомендуется придерживаться следующей схемы:

1. Исключить из платежной матрицы заведомо невыгодные стратегии по сравнению с другими стратегиями. Такими стратегиями для игрока А (игрока В) являются те, которым соответствуют строки (столбцы) с элементами, заведомо меньшими (большими) по сравнению с элементами других строк (столбцов).

2. Определить верхнюю и нижнюю цены игры и проверить, имеет ли игра седловую точку. Если она есть, то соответствующие ей стратегии игроков будут оптимальными, а цена совпадает с верхней (нижней) ценой.

3. Если седловая точка отсутствует, то решение следует искать в смешанных стратегиях. Для игр размера 2х2, 2xn, nx2 возможно геометрическое решение.

Пример 6. Магазин может завести в разных пропорциях товары трех типов (А₁, А₂, А₃). Их реализация и прибыль магазина зависят от вида товара и состояния спроса.

Предполагается, что спрос может иметь 3 состояния (В₁, В₂, В₃) и не прогнозируется. Определить оптимальные пропорции в запуске товаров из условия максимизации средней гарантированной прибыли при следующей матрице прибыли

Р = .

Решение. Определим нижнюю и верхнюю цену игры: a=max{3;2;4}=4; b=min{9;6;8}=6.

Так как a¹b, то седловая точка отсутствует и оптимальное решение следует искать в смешанных стратегиях игроков: S*_A= (р₁,р₂,р₃) и S*_B= (q₁, q₂,q₃) . Обозначив составим две взаимно-двойственные ЗЛП:

1) для определения оптимальной стратегии игрока A имеем следующую задачу линейного программирования: найти min Z = x₁ + x₂ + x₃ при ограничениях

x_i ³ 0, i=1,2,3.

2) двойственная задача для определения оптимальной стратегии игрока B формулируется так: найти max L= y₁ + y₂ + y₃ при ограничениях

y_j ³ 0, j=1,2,3.

Решаем симплексным методом одну из задач, например 2, т.к. для нее 1-е базисное решение будет допустимым. В результате получаем следующее решение: Y=(1/2; 0; 17/27; 2/27; 0; 1/9), max L=5/27.

Установим соответствие между переменными взаимно-двойственных ЗЛП и определим оптимальное базисное решение задачи 1 с помощью теорем двойственности:

Оптимальное базисное решение задачи 1: X=(2/27; 0; 1/9; ½; 0; 17/27), причем minZ=maxL=5/27. Находим цену игры =27/5=5,4. Оптимальную стратегию S*_A= (р₁,р₂,р₃) находим, используя р_i^*= vx_i (I=1,2,3), т.е. S*_A= (0,4; 0; 0,6).

Следовательно, предприятие должно выпустить 40% продукции А₁ и 60% продукции А₃, а продукцию А₂ не выпускать.

Оптимальную стратегию S*_B= (q₁, q₂,q₃) находим аналогично: q_j^*= vy_j (j=1,2,3), т.е. S*_B= (0,2; 0; 0,8; 0) (здесь учтено, что2-ой столбец исходной матрицы был отброшен как невыгодный). Т.о. оптимальный спрос в 20% находится в состоянии В₁ и в 80% - в состоянии В₃.

Контрольные вопросы

1. Предмет теории игр на основе понятия матричных игр.

2. Решение игр с седловой точкой. Принцип минимакса.

3. Решение игр размером 2х2 в смешанных стратегиях.

4. Геометрическая интерпретация игры 2х2.

5. Графический метод решения игры 2xn.