Геометрические приложения определенных интегралов

C помощью определенного интеграла можно решать различные задачи в области физики, техники, геометрии, также в области экономики. Например, с помощью определенного интеграла вычисляются длины траекторий, движения, площади различных фигур, объемы тел и пр.

Вычисление площадей плоских фигур

Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь S под кривой на численно равна определенному интегралу , т.е. .

Пример

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .

Решение

Из Рис. 7.14.1 видно, что площадь криволинейного треугольника ОАВ равна разности двух площадей: . Решая систему , получаем координаты точки В (точки пересечения кривой и прямой В . Тогда .

Окончательно .

Отметим, что данная задача может быть решена другим способом.

По определению определенного интеграла .

Это равенство можно понимать так, что при построении интегральной суммы разбиению подвергается отрезок оси ординат. Соответственно точки – это ординаты, фиксированные на каждом из отрезков разбиения. Поэтому, если на , то интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой и прямыми , , .

Рис. 7.14.1

Возвращаясь к нашей задаче, можно посчитать площадь следующим образом:

.

Если функция не положительна и непрерывна на отрезке , то площадь над кривой на отличается знаком от определенного интеграла :

.

Пример

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .

Решение

Из Рис. 7.14.2 видно, что искомая площадь криволинейного треугольника ОАВ может рассматриваться как площадь над кривой ОАВ на отрезке . Однако указанная кривая (ломаная)не задается одним уравнением. Поэтому для нахождения площади необходимо разбить треугольник ОАВ на две части . Координаты точек есть , и .

, .

Окончательно, .

Рис. 7.14.2

Несобственные интегралы

При рассмотрении определенного интеграла как предела интегральных сумм предполагалось, что подынтегральная функция ограничена на конечном отрезке интегрирования. Данное Определение определенного интеграла не имеет смысла, если не выполняется хотя бы одно из этих условий. Нельзя разбить бесконечный интеграл на конечное число отрезков конечной длины. Если подынтегральная функция неограниченна, то интегральная функция не имеет предела. Тем не менее возможно обобщить понятие предела и на эти случаи, с чем и связано понятие несобственного интеграла.

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Определение

Пусть функция определена на промежутке и интегрируема на любом отрезке , , так что интеграл

имеет смысл. Предел этого интеграла при называется несобственным интегралом первого рода и обозначается

.

(7.15.1)

В том случае, если этот предел конечен, говорят, что несобственный интеграл сходится, а функцию называют интегрируемой на бесконечном промежутке ; если же предел в формуле (7.15.1) бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогичным образом вводится понятие несобственного интеграла по промежутку :

.

(7.15.2)

Наконец, несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами можно определить как сумму несобственных интегралов (7.15.1) и (7.15.2):

,

(7.15.3)

где с – любое число.

Геометрический смысл несобственного интеграла первого рода основан на геометрической интерпретации определенного интеграла на отрезке : это площадь бесконечной области, ограниченной сверху неотрицательной функцией , снизу – осью Ох, слева – прямой (см. Рис.1). Такая же интерпретация имеет место и для несобственных интегралов (7.15.2) и (7.15.3).

Рассмотрим несколько примеров несобственных интегралов первого рода.

Пример

,

но предела функции при не существует, т.е. данный интеграл расходится.

Пример

,

Рис. 7.15.1

т.е. данный интеграл сходится.

Пример

.

Конечный предел существует – значит исходный интеграл сходится.

Пример

.

Интегралы от неограниченных функций

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке , но неограниченную на нем. Для определенности положим, что ограничена и интегрируема на любом отрезке , , но не ограничена в любой окрестности точки или на промежутке . В таком случае точка называется особой точкой.

Определение

Предел интеграла при называется несобственным интегралом второго рода и обозначается

.

(7.15.4)

Если этот предел конечный, то говорят, что интеграл (7.15.4) существует или сходится, а функцию называют интегрируемой на промежутке ; если же предела нет или он бесконечен, то говорят, что интеграл (7.15.4) расходится.

Аналогично, если особой точкой является точка , то несобственный интеграл второго рода определяется как

.

(7.15.5)

Если функция неограниченна в окрестности некоторой внутренней точки , то определению полагают, что

.

(7.15.6)

Наконец, если и – особые точки, т.е. функция ограничена и интегрируема на интервале , то несобственный интеграл второго рода определяется в виде суммы

,

где с – произвольная точка на , а несобственные интегралы второго рода в правой части этого равенства определяются по формулам (23.1.4) и (23.1.5).

Рассмотрим несколько примеров на вычисление несобственных интегралов второго рода.

Пример

,

т.е. данный интеграл сходится.

Пример

Найти интеграл, учитывая, что особыми являются точки 1 и–1.

Следовательно, данный несобственный интеграл второго рода сходится.

Пример

.

Предел равен , поэтому интеграл расходится.

Признаки сходимости несобственных интегралов

Теорема (признак сравнения несобственных интегралов)

Пусть функции и непрерывны на промежутке и удовлетворяют на нем условию . Тогда из сходимости интеграла следует сходимость интеграла и наоборот, из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Замечание

Аналогичный признак сравнения справедлив и для несобственных интегралов второго рода.

Рассмотрим примеры использования признака сравнения несобственных интегралов.

Пример

.

Сравним подынтегральную функцию в этом интеграле с функцией . Очевидно, что . Интеграл сходится, следовательно, в силу признака сравнения сходится и данный интеграл.

Пример

.

Сравним подынтегральную функцию в этом интеграле с функцией . Очевидно, что . Поскольку интеграл сходится, то сходится и исходный интеграл.

Теорема (признак Абеля–Дирихле)

Пусть функция непрерывна и имеет ограниченную первообразную на промежутке , а функция имеет непрерывную производную на этом промежутке, не возрастает и стремится к нулю при . Тогда несобственный интеграл

(7.15.7)

сходится.

Рассмотрим примеры использования признака Абеля – Дирихле сходимости несобственных интегралов.

Пример

.

Если принять в качестве , а в качестве , то легко убедиться, что все требования, накладываемые на функции, выполнены, т.е. данный интеграл сходится.

Упражнения

Вычислить интегралы:

1.		2.
3.		4.

Интегрирование методом подстановки:

5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.

Интегралы вида

13.		14.
15.		16.

Интегралы вида

17.		18.
19.		20.

Интегрирование по частям:

21.		22.
23.		24.

Применить тригонометрические подстановки в следующих примерах:

25.		26.
27.		28.

Интегрирование рациональных дробей:

29.		30.
31.		32.

Интегрирование иррациональных функций:

33.		34.
35.		36.

Интегралы вида

37.		38.
39.		40.

Интегрирование тригонометрических функций:

41.		42.
43.		44.

Пользуясь формулой Ньютона—Лейбница, вычислить определенные интегралы:

45.		46.
47.		48.

Вычислить значения нижеследующих интегралов, применяя указанные подстановки:

49.

50.

Вычислить следующие несобственные интегралы:

51.		52.
53.		54.