Точки разрыва и их классификация
Функция называется бесконечно малой при
, если
. Пусть
и
– бесконечно малые при
и существует предел их отношения
. Если
, то
и
называются бесконечно малыми одного
порядка малости. Обозначение при
. Если с = 1, то
и
называются эквивалентными бесконечно малыми (обозначение:
при
). Если с = 0, то
называется бесконечно малой высшего порядка, чем
(обозначение
при
).
При нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций каждую из них можно заменить эквивалентной ей бесконечно малой, т.е. если при
, то
.
Пример 5.1. Найти .
Решение. При функции
и
являются эквивалентными бесконечно малыми. Поэтому
Функция называется бесконечно большой при
, если для любого положительного числа М существует такое число
, что при всех х, удовлетворяющих условию
, выполняется неравенство
.
Обозначение
.
Функция называется непрерывной в точке
, если:
1) функция определена в точке
и ее окрестности;
2) существует конечный предел функции в точке
;
3) этот предел равен значению функции в точке , т.е.
На практике часто используют другое определение непрерывности функции в точке, равносильное данному.
Функция называется непрерывной в точке
, если выпол-няются условия:
1) функция определена в точке
и ее окрестности;
2) существуют конечные односторонние пределы
и
;
3) эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке .
Укажем основные свойства непрерывных функций.
1. Простейшие элементарные функции (
) непрерывны во всех точках, где они определены.
2. Если функции и
непрерывны в точке
, то и функции
непрерывны в точке
.
3. Если непрерывна в точке
, а
непрерывна в точке
, то сложная функция
непрерывна в точке
.
4. Если функция непрерывна на отрезке
и возрастает (или убывает) на этом отрезке, то обратная функция
на соответствующем отрезке оси
существует и является также непрерывной возрастающей (убывающей) функцией.
Точка , в которой не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, называется точкой разрыва функции.
Если в точке существуют конечные односторонние пределы
, такие что
, то
называется точкой разрыва первого рода. Если хотя бы один из пределов
не существует или равен бесконечности, то точка
называется точкой разрыва второго рода. Если
, но функция в точке
не определена или если
в точке
определена, но
, то
называется точкой устранимого разрыва.
Пример 5.2. Найти точки разрыва функции и определить их вид.
Решение. Так как функции и
непрерывны, то непрерывным будет и их отношение
во всех точках, кроме точки
. При
не определена, следовательно, разрывна. Так как
(см. п. 5.1 пример 12), то
– точка устранимого разрыва. Если положить
, то функция
будет непрерывной при всех .
Пример5.3. Установить вид точек разрыва функции
Решение. Область определения функции – вся числовая ось
. Разрывы возможны только в точках
и
, в которых изменяется аналитическое задание функции. Найдем односторонние пределы в точке
и значение функции в этой точке:
Следовательно, в точке функция непрерывна.
Рассмотрим точку :
Так как эти пределы конечны но не равны между собой, то х = 3 – точка разрыва первого рода. График функции f(x) изображен на рис. 5.1.
Рис. 5.1
Пример 5.4. Установить вид точек разрыва функции
Решение. Данная функция непрерывна всюду, кроме точки
х = –1, в которой f(x) не определена.
Поскольку
(т.к.
при
),
(т.к.
при
),
т.е. правосторонний предел бесконечен, то х = –1 – точка разрыва второго рода.