Точки разрыва и их классификация

Функция называется бесконечно малой при , если . Пусть и – бесконечно малые при и существует предел их отношения . Если , то и называются бесконечно малыми одного
порядка малости. Обозначение при . Если с = 1, то и называются эквивалентными бесконечно малыми (обозначение: при ). Если с = 0, то называется бесконечно малой высшего порядка, чем (обозначение при ).

При нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций каждую из них можно заменить эквивалентной ей бесконечно малой, т.е. если при , то

.

Пример 5.1. Найти .

Решение. При функции и являются эквивалентными бесконечно малыми. Поэтому

Функция называется бесконечно большой при , если для любого положительного числа М существует такое число , что при всех х, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Обозначение

.

Функция называется непрерывной в точке , если:

1) функция определена в точке и ее окрестности;

2) существует конечный предел функции в точке ;

3) этот предел равен значению функции в точке , т.е.

На практике часто используют другое определение непрерывности функции в точке, равносильное данному.

Функция называется непрерывной в точке , если выпол-няются условия:

1) функция определена в точке и ее окрестности;

2) существуют конечные односторонние пределы

и ;

3) эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке .

Укажем основные свойства непрерывных функций.

1. Простейшие элементарные функции ( ) непрерывны во всех точках, где они определены.

2. Если функции и непрерывны в точке , то и функции непрерывны в точке .

3. Если непрерывна в точке , а непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

4. Если функция непрерывна на отрезке и возрастает (или убывает) на этом отрезке, то обратная функция на соответствующем отрезке оси существует и является также непрерывной возрастающей (убывающей) функцией.

Точка , в которой не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, называется точкой разрыва функции.

Если в точке существуют конечные односторонние пределы , такие что , то называется точкой разрыва первого рода. Если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода. Если , но функция в точке не определена или если в точке определена, но , то называется точкой устранимого разрыва.

Пример 5.2. Найти точки разрыва функции и определить их вид.

Решение. Так как функции и непрерывны, то непрерывным будет и их отношение во всех точках, кроме точки . При не определена, следовательно, разрывна. Так как (см. п. 5.1 пример 12), то – точка устранимого разрыва. Если положить , то функция

будет непрерывной при всех .

Пример5.3. Установить вид точек разрыва функции

Решение. Область определения функции – вся числовая ось . Разрывы возможны только в точках и , в которых изменяется аналитическое задание функции. Найдем односторонние пределы в точке и значение функции в этой точке:

Следовательно, в точке функция непрерывна.

Рассмотрим точку :

Так как эти пределы конечны но не равны между собой, то х = 3 – точка разрыва первого рода. График функции f(x) изображен на рис. 5.1.

Рис. 5.1

Пример 5.4. Установить вид точек разрыва функции

Решение. Данная функция непрерывна всюду, кроме точки
х = –1, в которой f(x) не определена.

Поскольку

(т.к. при ),

(т.к. при ),

т.е. правосторонний предел бесконечен, то х = –1 – точка разрыва второго рода.