II.5. Зависимость теплоёмкостей от температуры. Истинная и средняя теплоёмкости

Опытные значения зависимости теплоёмкостей от температуры представляются в виде таблиц, графиков и эмпирических зависимостей. У большинства технических газов c_v и c_p возрастают с ростом температуры.

Из физики известно, что температура газа не связана колебательным движением атомов и молекул, а зависит от кинетической энергии их поступательного движения. Подводимая к газу теплота по мере роста температуры перераспределяется всё более и более в пользу колебательного движения и поэтому прирост температуры на одинаковый подвод теплоты замедляется.

На рис.8 опытные данные обозначены в виде звездочек. Сплошная линия – аппроксимирующая их кривая, подчиняющаяся уравнению

c=c₀ + at + bt² + dt³ +… (93)

Здесь c₀, a, b, d и т.д – эмпирические коэффициенты (коэффициенты, полученные опытным путем). Аппроксимирующая кривая проводится с использованием метода наименьших квадратов или других аналогичных математических методов. В инженерных расчетах ограничиваются первыми двумя слагаемыми в правой части (93), то есть полагают зависимость теплоемкости от температуры линейной:

c=c₀ + at (94)

В частности

c_v=c_0v + at (95)

c_р=c_0р + at (96)

Все ранее полученные формулы, включая 94,95,96, относятся к истинной теплоемкости, то есть теплоемкости для конкретной (заданной) температуры

В практических расчётах часто требуется знать среднее значение теплоёмкостей в заданном интервале температур от t₁ до t₂

Обозначим среднюю теплоемкость как , или

Средняя теплоемкость, в соответствие с рис.9

определяется как средняя линия трапеции.

С учетом (94)

рис.9. К определению средней теплоемкости

=

или окончательно

(97)

Конкретные значения С₀ и а содержатся в справочной литературе по теплофизическим характеристикам веществ. Связь между средним и истинным теплоемкостями выражается формулой

(98)

В тех случаях, когда зависимость теплоёмкости от температуры не удаётся удовлетворительно аппроксимировать зависимостью c=c₀+at, можно воспользоваться формулой для нелинейной зависимости:

(99)

Для оценочных (не очень точных) расчетов, когда отсутствуют опытные данные для теплоемкости в виде таблиц или эмпирических формул, можно воспользоваться результатами молекулярно-кинетической теории газов.

Из молекулярно-кинетической теории газов известно соотношение

U_m = 12,56T (100)

Здесь U_m - внутренняя энергия одного киломоля идеального газа, Т - абсолютная термодинамическая температура, К.

Для массовой изохорной теплоемкости идеального газа, ранее было получено (73):

Так как и , то молярная изохорная теплоемкость равна

(101)

Подставляя (100) в (101) получим

(102)

Молярную изобарную теплоемкость с_µp найдем из уравнения Майера: c_mp - c_mv = R_m = 8,314 , откуда

c_mp=c_mv+R_m=12,56+8,314 @ 20,93 (103)

Как следует из (102) и (103), по молекулярно-кинетической теории газов теплоемкости не зависят от температуры, то есть берутся средним значением и во всем диапазоне температур. Именно в этом заключается оценочный характер этих значений.

Понятию идеального газа в большей степени соответствуют одноатомные газы при малых давлениях. На практике же, чаще всего приходится иметь дело с двухатомными, трехатомными и более атомными газами.

Например, воздух – двухатомный газ, так как он по объёму на 79% состоит из азота (N₂) и на 21% из кислорода (O₂).

Для оценочных расчетов можно пользоваться следующей таблицей:

Газ	cmv,	cmp,
Одноатомный	12,56	20,93
Двухатомный	20,93	29,31
Трех и более атомный	29,31	37,68

Примечание: в этой таблице, во второй и третьей строчках теплоемкости скорректированы по результатам опытов.

У реальных газов, в отличие от идеального, теплоёмкости могут зависеть не только от температуры, но и от объёма и давления.