Объём тела, вычисляемый по площади поперечного сечения тела

Производная от интеграла по его верхнему пределу.

Теорема Барроу.

Пусть в определенном интеграле нижний предел постоянный, а верхний изменяется, тогда будет изменяться значение интеграла, т.е. при рассмотренном условии интеграл есть функция своего верхнего предела.

При постоянной а, этот интеграл будет собой представлять функцию верхнего предела

Теорема Барроу: Если f(x) – непрерывная функция на [a;b] и - функция верхнего предела, то тогда от x {производная от функции верхнего предела равна подынтегральной функции}.

Доказательство: Пусть -приращение аргумента ,тогда приращение функции Ф(х) будет равно:

{по условию}= {для первого слагаемого в алгебраической сумме применим св-во 3}= {св-во 11(т. О среднем)}=

{с учетом }= {по условию f(x) – непрерывная функция}.

Из теоремы Барроу следует что

Формула Ньютона – Лейбница

Теорема: Если

Если F(х) – есть какая-либо первообразная от функции f(х), которая непрерывна на [a,b], тогда справедлива формула Н.-Л.

Доказательство: Пусть F(x) – некоторая первообразная от функции f(x), то по теореме Барроу

Две любые первообразные от данной функции отличаются на постоянное слагаемое – С.

Воспользуемся { знак двойной подстановки}

По св-ву 12 ( ) и получим формулу Н. – Л.

Вывод: формула Н.- Л. позволяет вычислить определенный интеграл в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции.

Примеры:

1)

2)Вычислить среднее значение функции: f(x)=x на отрезке [0,n/2]

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], t - новая переменная, такая что x=g(t).

Пусть функция g(t) – непрерывна на отрезке [ ], имеет

1) - непрерывную производную на этом отрезке.

2)

3) тогда справедлива формула замены переменой в определенном интеграле.

6.5.1

Доказательство: Пусть F(x) первообразная для f(x) по определению первообр.

Интегрируя оба равенства в пределах от a до b получаем

по формуле Н. – Л.

По условию 2 теоремы: Правые части последующих выражений равны, то равны и левые—что и доп. формулу замены переменной в определенном интеграле.

Замечание: при вычислении определенного интеграла по 6.5.1 к старой переменной не возвращаемся.

Примеры:

1)

=

2) Формула дл интеграла по симметричному отрезку от -а до а

=

четная функция

нечетная функция

3)

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Пусть U(x), V(x)

Докажем формулу интегрирования по частям в определенном интеграле

- формула интегрирования по частям.

Пример:

=

Несобственные интегралы

В определенном интеграле

1)[a,b]

2)

Возникает необходимость распространить определенный интеграл на случай:

1)бесконечного промежутка интегрирования

2)разрывной подынтегральной функции

Признаки сходимости несобст-ых Интег-ов с бесконечн. Предел.

Т.1 Если для x

;

Т.2 Для случая ф-ии х выполняется неравенство 0 и

-расходятся.

Т.3 для случая ф-ия f(x) имеющий знак в бесконечном промежутке,

Если dx , этот абсолютно сходящийся .

6.7.2 от неограниченных ф-ий. Несобственный 2-го рода.

Сущ-ет у=f(x) определена и непрерывна для всех х принадлежащих на [a,b) в (.) х=b либо определена, либо имеет бесконечный разрыв.

Определение ф-ии f(x) в (.) по определению равен:

(6.7.2.1)

Если предел в правой части сущ-ет и конечен, то несобственный наз-ся Сходящимся, в противном случае (предел не сущ-ет или = , наз-ся Расходящимся.

Пусть ф-ия у=f(х) не прерывна на [a,b] в (.) х=с ф-ия или неопределенно либо имеет бесконечн разрыв , то по определению , , то ,

(6.7.2.2)

Если предел в правой части сущ-ет и конечен , то Интег-ал назыв-ся Сходящимся, в противном случае Расходящимся!

Если ф-ия у=f(x) имеет бесконечный разрыв в (.) х=с или неопределена, где а с b , тогда

(6.7.2.30)

Если сходится одновременно оба Интег-ла в Прав. Части , то сходится Интег-л и в левой части. Если хотя бы один из Интег-лов в Прав-й части расходится, то расходится и Интег-л в левой части.

Если функция у=f(x) на отрезке [a,b], где она определена и непрерывна, и имеет конечное число (.) разрыва тогда несобственный Интеграл определяется следующим образом:

Если каждый из несобственных в правой части равенства сходится, то сходятся в левой части, если хотя бы один из них расходится, то расходится и исходный .

Признаки сходимости несобственных от разрывных фун-ий.

Т.1 Если на промежутке [a,b) ф-я у=f(x) и g(x) определены и непрерывны в (.) x=b эти ф=ии имеют разрыв для всех
,

Из геометрич. смысла определённого интеграла для областей задаваемых соотношениями a x b, y₁(x) y y₂(x) справедлива формула для вычисления S области , ограниченной графиками ф-ий y₁(x), y₂(x) и прямыми x=a, x=b.

Если область задана с соотношениями c y d , g₁(y) x g₂(y), то

Если прямая линия задана параметрически ,x(t), y(t) , непрерывн. диф. на отрезке . x( =a; x( )=b

6.9 Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат.

Пусть линия огранич. плоскую фигуру задана в полярной системе координат.

Пример: Вычислить длину окружности: x²+y²=R²

Вычислить длину 4-ой части окружности, расположенной в I квадранте(х≥0, y≥0):

Если уравнение кривой задано в параметр-ой форме: , функции x(t), y(t) определены и непрерывны вместе со своими производными на отрезке [α,β]. Производная , тогда сделав подстановку в формулу: и учитывая что

получим внесем множитель под знак корня и получим окончательно

Замечание: Задана плоская кривая , можно также рассматривать функцию, заданную параметр-ки в пространстве, тогда добавится функция z=z(t) и формула

Пример: Вычислить длину астроиды, которая задаётся уравнением: x=a*cos³(t), y=a*sin³(t), a>0

Вычислить длину 4-ой части:

по формуле

Длина дуги плоской кривой, заданной в полярной системе координат:

Пусть в полярной системе координат задано уравнение кривой: - непрерывная функция, вместе со своей производной на отрезке [α,β].

Формулы перехода от полярных координат:

рассматривать как параметрические:

ϕ - параметр, по ф-ле

2

Пр: Вычислить длину кривой : >0

З -ние: вычислим половину длины окружности:

Объём тела, вычисляемый по площади поперечного сечения тела.

Пусть задано тело, ограниченное замкнутой поверхностью и пусть известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох. Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости.

пусть все тело заключено между 2-мя перпендикулярными к оси Ох плоскостями, пересекающими её в точках х=а, х=b (a<b)

Для определения объёма такого тела разобьём его на слои с помощью секущих плоскостей, перпендикулярных к оси Ох и пересекающих её в точках . В каждом частичном промежутке . Выберем

и для каждого значения i=1,….,n построим цилиндрическое тело, образующая которого параллельна Ох, а направляющая представляет собой контур сечения тела плоскостью х=С_i , объем такого элементарного цилиндра с площадью основания S=C_i и высотой ∆х_i . V_i=S(C_i)∆x_i . Объём всех таких элементарных цилиндров будет . Предел этой суммы, если он существует и конечен при max ∆х à 0 называется объёмом данного тела.

. Так как V_n интегральная сумма для непрерывной на отрезке [a,b] функции S(x) то указанный предел существует (т-ма существования) и выражается опр. Интегралом.

- объём тела, вычисляемый по площади поперечного сечения.

Объём тела вращения:

Пусть тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), осью Ох и прямыми x=a, x=b.

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и неотрицательна на нем, тогда сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной Ох есть круг, радиусом R=y(x)=f(x) . Площадью круга S(x)=Пy²(x)=П[f(x)]².Подставляя формулу получим формулу для вычисления объёма тела вращения вокруг оси Ох:

Если же вокруг оси Оу вращается криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на [c,d] функцией , то объём такого тела вращения:

Этот же объём может быть вычислен по формуле: . Если линия задана параметрическими уравнениями :

Делая замену переменной получим:

Если линия задана параметрическими уравнениями :

y(α)=c, y(β)=d. Делая замену y=y(t) получим:

Вычислить тела вращения вокруг оси ОУ параболы , .

1способ:

2способ:

2)Вычислить V тела вращения вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной прямой у=0, дугой ( с центом в точке(1;0), и радиусом=1), при .