Многогранная поверхность. Многогранник

Многогранной поверхностью называют объединение конечного числа плоских многоугольников такое, что каждая сторона любого из многоугольников является в то же время стороной другого (но только одного) многоугольника, называемого смежным с первым многоугольником.

Виды многогранников:

Пирамида

Многогранни, одна из граней которого - произвольный многогранник, а остальные грани - треугольники, имеющие одну общую вершину, называется пирамидой.

Многоугольник называется основанием пирамиды, а остальные грани (треугольники) называются боковыми гранями пирамиды.

Различают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д. пирамиды в зависимости от вида многоугольника, лежащего в основании пирамиды.

Призма

Многогранник, две грани которого - равные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней - параллелограммы, называетсяn-угольной призмой.

многогранник пирамида призма параллелепипед

Пару равных n-угольников называют основаниями призмы. Остальные грани призмы называют ее боковыми гранями, а их объединение - боковой поверхностью призмы. На рис.1 изображена пятиугольная призма.

Стороны граней призмы называют ребрами, а концы ребер - вершинами призмы. Ребра, не принадлежащие основанию призмы, называют боковыми ребрами.

Призму, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называют прямой призмой. В противном случае призма называется наклонной.

Отрезок перпендикуляра к плоскостям оснований призмы, концы которого принадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы.

Прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник, называется правильной призмой.

Параллелепипед

Параллелепипед - шестигранник, противоположные грани которого попарно параллельны. Параллелепипед имеет 8 вершин, 12 рёбер; его грани представляют собой попарно равные параллелограммы.

Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны к плоскости основания (в этом случае 4 боковые грани - прямоугольники); прямоугольным, если этот параллелепипед прямой и основанием служит прямоугольник (следовательно, 6 граней - прямоугольники);

Параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом.

Объём параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.

Цилиндр

1. Цилиндр – тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Цилиндр получается при вращении прямоугольника вокруг стороны.

2. прямая OO - ось цилиндра

отрезок OO - высота,

отрезок АА = ВВ - образующая

круг (О,ОВ) =кругу (O , O В ) – основание цилиндра

3. а) осевое сечение (проходит через ось) есть прямоугольник

б) сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник

в) сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной его оси, представляет собой круг

II. Конус

1. Конус – тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета.

2. т. S – вершина конуса

круг(О,ОА) – основание конуса

SA=SB – образующие конуса

Отрезок SO – высота конуса

Прямая SO – ось конуса

3. а) осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник

б) сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину – равнобедренный треугольник

в) сечение конуса плоскостью, перпендикулярно оси симметрии – круг

4. а) вписанная пирамида – пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, вершина – вершина конуса, боковые ребра пирамиды – образующие конуса

б) Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Шар. Сфера

1. Шар – тело состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не больше данного от данной точки.

Сфера – граница шара.

Шар получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси

2. т. О – центр шара

ОА=ОВ – радиус шара

АВ – диаметр

3. а) Всякое сечение шара плоскостью – круг, центром которого является основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

б) плоскость, проходящая через центр шара – диаметральная плоскость. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью.

4. Плоскость проходящая через точку А поверхности шара и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью, точка А – плоскостью касания.

а) многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на поверхности шара.

б) многогранник называется описанным около шара, если все его грани касаются поверхности шара

Площади тел вращения

Площадь боковой поверхности цилиндра Площадь полной поверхности цилиндра
Площадь боковой поверхности конуса Площадь полной поверхности конуса
Площадь боковой поверхности усеченного конуса Площадь полной поверхности усеченного конуса

Примеры решения задач

1. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SBC.

Решение. Пусть О – центр основания пирамиды. Прямая АО параллельна прямой ВС и, значит, параллельна плоскости SBC. Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от точки О до плоскости SBC. Пусть G – середина отрезка ВС. Тогда прямая ОG перпендикулярна ВС и искомым перпендикуляром, опущенным из точки О на плоскость SBC, является высота ОН прямоугольного треугольника SOG. В этом треугольнике

2. В единичном кубе А…D₁ найдите угол между прямыми DА₁ и ВD₁.

Решение. АD₁ является проекцией прямой ВD₁ на плоскость АDD₁. Прямые АD₁ и DА₁ перпендикулярны. Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что прямые DА₁ и ВD₁ также перпендикулярны, т.е. искомый угол равен 90⁰.