Площадь треугольника по трем точкам
Аналитическая геометрия, математические формулы
Системы координат на плоскости и в пространстве
Системы координат на плоскости
Декартовы прямоугольные координаты (рис. 4.1)
О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оy - ось ординат, - базисные векторы,
- абсцисса точки M (
- проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy),
- ордината точки M (
- проекция точки M на ось Oy параллельно оси Ox).
Декартовы косоугольные (афинные) координаты (рис. 4.2)
О - начало координат, - оси координат,
,
- координаты точки M (
- проекция точки M на ось
параллельно оси
, аналогично
),
- базисные векторы.
Полярные координаты (рис. 4.3)
О - полюс, Ox - полярная ось, - полярный радиус,
- полярный угол.
Главные значения и
:
(иногда
).
Выражение декартовых прямоугольных координат через полярные
Выражение полярных координат через декартовы прямоугольные
Системы координат в пространстве
Декартовы прямоугольные координаты (рис. 4.4)
О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оy - ось ординат, Оz - ось аппликат, - базисные векторы. Oxy, Oxz, Oyz - координатные плоскости,
- абсцисса точки M (
- проекция точки M на ось Ох параллельно плоскости Оyz),
- ордината точки M (
- проекция точки M на ось Oy параллельно плоскости Oxz),
- ордината точки M (
- проекция точки M на ось Oz параллельно плоскости Oxy).
Декартовы косоугольные (афинные) координаты (рис. 4.5)
О - начало координат, - оси координат,
,
,
- координатные плоскости,
- координаты точки M (
- проекция точки M на ось
параллельно плоскости
; аналогично
,
),
- базисные векторы.
Цилиндрические координаты (рис. 4.6)
Главные значения ,
,
:
Связь между декартовыми прямоугольными и цилиндрическими координатами:
Сферические координаты (рис. 4.7)
Главные значения ,
,
:
Иногда вместо рассматривают
:
Связь между декартовыми прямоугольными и сферическими координатами
или
Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости
Параллельный сдвиг координатных осей (рис. 4.8)
Поворот координатных осей (рис. 4.9)
Параллельный сдвиг и поворот координат осей (рис. 4.10)
Простейшие задачи аналитической геометрии
Расстояние между двумя точками
где и
радиус-векторы точек
и
.
В координатах:
на прямой
на плоскости
в пространстве
Деление отрезка в данном отношении
В координатах:
на прямой ;
на плоскости ,
;
в пространстве ,
,
Середина отрезка ( = 1)
В координатах:
на прямой ;
на плоскости ,
;
в пространстве ,
,
.
Координаты центра масс системы материальных точек
Если в точках (с радиусами-векторами
) сосредоточены массы
то радиус-вектор центра масс
В координатах:
Площадь треугольника по трем точкам
Если ,
,
- радиус-векторы вершин треугольника,
то
В координатах:
в общем случае
для треугольника, лежащего в плоскости Oxy (mod a = |a|),
Объем параллелепипеда
Если параллелепипед построен на приведенных к общему началу векторах , а
,
,
,
- радиус-векторы его соответствующих вершин
то объем параллелепипеда
В координатах
Объем тетраэдра
Если - исходящие из одной вершины ребра тетраэдра, а
,
,
,
- радиус-векторы соответствующих вершин тетраэдра, то его объем
Прямая на плоскости
Общее уравнение
Ax + By + C ( > 0).
Вектор = (А; В) - нормальный вектор прямой.
В векторном виде: + С = 0, где
- радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).
Частные случаи:
1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;
2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;
3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;
4) y = 0 - ось Ox;
5) x = 0 - ось Oy.
Уравнение прямой в отрезках
где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.
Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11)
где - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p - расстояние от начала координат до прямой.
Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:
Здесь - нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C, если
и произвольно, если C = 0.
Векторно-параметрическое уравнение прямой
где - фиксированная точка, лежащая на прямой;
- направляющий вектор (см. рис. 4.11).
В координатах (параметрические уравнения):
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой по двум точкам (рис. 4.12)
или
или
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту (рис. 4.12)
или
где b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.
Отклонение точки от прямой
или
где знак перед корнем противоположен знаку C, если и выбран произвольно, если C = 0.
Расстояние от точки до прямой
Взаимное расположение двух прямых
Прямые и
:
пересекаются
параллельны (но не совпадают)
совпадают
Прямые и
:
пересекаются
параллельны (но не совпадают)
совпадают
Прямые и
:
пересекаются
параллельны (но не совпадают)
совпадают
Угол между двумя прямыми
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых
или
или
Расстояние между параллельными прямыми
Если прямые заданы уравнениями и
то
а если уравнениями и
то
Пучок прямых
Если - центр пучка, то уравнение пучка
Если центр задан пересечением двух прямых
то уравнение пучка
Прямая в пространстве
Способы задания прямой
Векторно-параметрическое уравнение прямой
где - фиксированная точка, лежащая на прямой;
- направляющий вектор.
В координатах (параметрические уравнения):
Канонические уравнения прямой
Уравнения прямой по двум точкам
Прямая как линия пересечения двух плоскостей
при условии, что не имеют места равенства
Направляющий вектор такой прямой
где