Основные свойства равносильности неравенств.

НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Необходимые сведения из теории.

Всякое значение переменной, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство, называется решением этого неравенства.

Справедливы аналогичные определения для неравенств , , .

Решить неравенство - значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Определение. Неравенство и называются равносильными на множестве , если множества решений этих неравенств на совпадают.

Если неравенства и не имеют решения, то эти неравенства считаются равносильными.

Замена одного неравенства равносильным ему другим неравенством называется равносильным переходом от одного неравенства к другому.

При решении неравенств обычно заменяют данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному.

Основные свойства равносильности неравенств.

1. Пусть неравенство определено на множестве .

Если к обеим частям неравенства прибавить одну и ту же функцию , определенную на , то полученное неравенство на множестве равносильно исходному, т.е.

В частности, если перенести слагаемое из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, то полученное неравенство равносильно исходному.

Замечание. Если функция определена не для всех , то такое преобразование может привести к потере корней.

2. Пусть неравенство определено на множестве .

Если обе части неравенства умножить на положительную функцию , определенную на , то полученное неравенство на множестве равносильно исходному, т.е.

В частности, если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному: и равносильны для любого .

3. Пусть неравенство определено на множестве .

Если обе части неравенства умножить на отрицательную функцию , определенную на , то полученное неравенство на множестве равносильно исходному (знак неравенства меняется на противоположный), т.е.

В частности, если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному: и равносильны для любого .

4. Если и на множестве , то на этом множестве неравенство равносильно неравенству при любом натуральном , т.е. .

5. Неравенство определенное на множестве , равносильно неравенству при любом натуральном , т.е.

Преобразовывая неравенство, необходимо следить за тем, чтобы все переходы были равносильными.

Решение любого неравенства состоит из двух равноценных частей:

а) нахождение ОДЗ;

б) решение самого неравенства.

Эти части можно решать независимо друг от друга.

На заключительном этапе рассматривают общую часть этих решений, которая и является ответом.

Замечание 1. Часто условия, задающие ОДЗ неравенства, целесообразнее учитывать в неравенстве, которое является следствием заданного.

Замечание 2. Решение многих показательных и логарифмических неравенств основано на монотонности показательной и логарифмической функции.

Пример 1. Решить неравенство .

Решение. ОДЗ . Полагая , имеем систему откуда

Из последнего следует , , и .

Пример 2. Решить неравенства:

а) ; б) ; в) .

Решение. а) . Очевидно, что данное неравенство выполняется для всех значений аргумента, принадлежащих ОДЗ, поэтому данное неравенство равносильно неравенству , откуда
ответ .

б) . ОДЗ .

Обе части исходного уравнения возведем в третью степень (обратите внимание! степень нечетная) и получим равносильное неравенство , откуда . Решая последнее неравенство и учитывая ОДЗ, имеем
ответ .

в) . ОДЗ , откуда .

Обе части неравенства неотрицательны в области допустимых значений, поэтому обе части исходного неравенства можно возвести в квадрат.

, откуда и . Учитывая последнее и ОДЗ, получим решение .

Пример 3. Решить неравенство .
Решение. ОДЗ: .

Введем обозначение . Очевидно, . Из исходного уравнения имеем или , откуда .

Учитывая, что , имеем .

Решаем неравенство . Логарифмируем обе части последнего неравенства по основанию 0.7.

Функция есть монотонно убывающая функция, поэтому (знак неравенства изменился на противоположный), откуда .

Ответ: .

Пример 4. Решить неравенство .

Решение. ОДЗ: .

Пусть . Тогда исходное неравенство может быть записано в виде , откуда или .