Практика 16. Прямая и плоскость в пространстве

Знать: два определения линии в пространстве; уравнения прямой в пространстве; формулы углов между прямыми, между прямой и плоскостью; условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, прямой и плоскости; условия принадлежности двух прямых одной плоскости и прямой плоскости; взаимное расположение двух прямых в пространстве, а также прямой и плоскости; формулы расстояния от точки до прямой в пространстве и между двумя скрещивающимися прямыми.

Уметь: переходить от одного вида уравнения прямой к другому; находить углы между прямыми, между прямой и плоскостью; находить расстояния в пространстве; устанавливать взаимное расположение прямых в пространстве, а также прямой и плоскости.

Проверочная работа « Уравнение плоскости в пространстве»

1 в.	1. Составить уравнение плоскости, проходящей через основания перпендикуляров, опущенных из точки М(2;2;2) на координатные плоскости.	2. При каких значениях и уравнения и будут определять параллельные плоскости?
2 в.	1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;0;3) и перпендикулярной к плоскостям и .	2. При каких значениях уравнения и будут определять перпендикулярные плоскости?

Решение проверочной работы:

1 вариант
1. Из точки М на координатные плоскости можно опустить 3 перпендикуляра с основаниями М1(0;2;2), М2(2;0;2), М3(2;2;0). Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через 3 данные точки, и получим: Ответ: x+y+z-4=0.	2. Ответ: .
2 вариант
1. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через точку М(1;0;3) и перпендикулярно вектору , получим Ответ: .	2. Ответ: .

Работа в аудитории:

1.3. Общее уравнение прямой преобразовать к каноническому виду.	1.4. Привести к каноническому виду прямую .	1.5. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(4;3;-2) параллельно прямой .
2. Найти величину острого угла между прямыми
2.3. и .	2.4. и .	2.5. и .
3. Установить взаимное расположение прямых
3.3. и .	3.4. и .	3.5. и .
4.3. Найти расстояние от точки М(-5;4;3) до прямой .	4.4. Найти расстояние между параллельными прямыми и .	4.5. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми и .
5.3. Найти величину острого угла между прямой и плоскостью .	5.4. Установить взаимное расположение прямой и плоскости .	5.5. Найти координаты точки, симметричной точке М(3;4;5) относительно плоскости .

Решения:

1.3. Общее уравнение прямой преобразовать к каноническому виду.

.

Пусть .

Воспользуемся каноническим уравнением прямой в пространстве , где и получим

Ответ: .

1.4. Привести к каноническому виду прямую .

.

Пусть .

Воспользуемся каноническим уравнением прямой в пространстве , где и получим

.

Ответ: .

1.5. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(4;3;-2) параллельно прямой .

.

Воспользуемся каноническим уравнением прямой в пространстве , где и получим

Ответ: .

2.3. Найти величину острого угла между прямыми и .

По формуле нахождения угла между двумя прямыми имеем

Ответ: .

2.4. Найти величину острого угла между прямыми и .

По формуле нахождения угла между двумя прямыми имеем

Ответ: .

2.5. Найти величину острого угла между прямыми и .

По формуле нахождения угла между двумя прямыми имеем

Ответ: .

3.3. Установить взаимное расположение прямых и .

.

Т.к. , то прямые или параллельны, или совпадают.

Возьмем точку М₁(2;0;-1) и подставим в уравнение 2-ой прямой.

, т.е. точка не принадлежит 2-ой прямой.

Ответ: параллельны.

3.4. Установить взаимное расположение прямых и .

.

Т.к. , то прямые или пересекаются, или скрещиваются.

Проверим условие принадлежности двух прямых 1-ой плоскости:

, т.е. прямые скрещиваются.

Т.к. , то прямые не перпендикулярны.

Ответ: скрещивающиеся.

3.5. Установить взаимное расположение прямых и .

.

Т.к. , то прямые или параллельны, или совпадают.

Возьмем точку М₁(0;0;-3) и подставим в уравнение 1-ой прямой.

, т.е. точка принадлежит 1-ой прямой.

Ответ: совпадают.

4.3. Найти расстояние от точки М(-5;4;3) до прямой .

Воспользуемся формулой нахождения расстояния от точки до прямой , где и М₀(2;3;1),

Ответ: .

4.4. Найти расстояние между параллельными прямыми и .

Т.к. расстояние между параллельными прямыми определяется как расстояние от любой точки 1-ой прямой до 2-ой прямой, то воспользуемся формулой нахождения расстояния от точки М(2;-1;0) до прямой , где , и получим .

Ответ: 3.

4.5. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми и .

Воспользуемся формулой расстояния между скрещивающимися прямыми , где , , , , .

Ответ: 2.

5.3. Найти величину острого угла между прямой и плоскостью .

Воспользуемся формулой нахождения угла между прямой и плоскостью , и получим .

Ответ: .

5.4. Установить взаимное расположение прямой и плоскости .

и .

Т.к. , то прямая и плоскость не перпендикулярны.

Т.к. , то прямая и плоскость не параллельны.

Ответ: пересекаются.

5.5. Найти координаты точки, симметричной точке М(3;4;5) относительно плоскости .

Пусть искомая точка А, тогда прямая АМ перпендикулярна данной плоскости. Воспользуемся уравнением прямой с направляющим вектором, который перпендикулярен плоскости и проходящей через точку М(3;4;5): или .

Найдем точку пересечения прямой АМ и данной плоскости, назовем ее точка В

Т.е. точка В имеет координаты В(4;2;6).

Чтобы найти координаты точки А(x;y;z), воспользуемся тем, что В – середина АМ, т.е. , , .

Ответ: (5;0;7).