Счетность множества рациональных чисел.

Расположим все рациональные числа в таблицу, содержащую бесконечное число строк и столбцов, следующим образом

Здесь в n-ю строчку помещены рациональные числа, записываемые несократимыми рациональными дробями со знаменателем n и упорядоченные по возрастанию их абсолютных величин, причем непосредственно з каждым положительным числом следует ему противоположное. Очевидно, что каждое рациональное число имеет свое место в этой таблиц.

Занумеруем теперь элементы получившейся таблицы согласно следующей схеме, в которой в кружочках стоят номера соответствующих элементов, а стрелки указывают направление нумерации.

В результате все рациональные числа оказываются занумерованными, т. е. множество Q рациональных чисел счетно.

10.4.Несчетность множества действительных чисел

Несчетность множества действительных чисел докажем в 2 этапа:

1) докажем несчетность точек отрезка [0,1] (диагональная процедура Кантора)

2) эквивалентность множества точек отрезка [0,1] и точек числовой прямой

1) Предположим, что дано какое-то счетное множество (всех или только некоторых) действительных чисел а, лежащих на отрезке [0,1]:

Здесь a_ij — j-я десятичная цифра числа α_i. Построим дробь

диагональной процедурой Кантора, а именно: за b₁ примем произвольную цифру, не совпадающую с a₁₁, за b₂ — произвольную цифру, не совпадающую с a₂₂, и т.д.; вообще, за b_n примем произвольную цифру, не совпадающую с a_nn. Эта десятичная дробь не может совпасть ни с одной дробью, содержащейся в перечне α_j-х. Действительно, от α₁ дробь β отличается по крайней мере первой цифрой, от α₂ — второй цифрой и т. д.; вообще, так как для всех n, то дробь β отлична от любой из дробей α_i, входящих в перечень α_j-х. Таким образом, никакое счетное множество действительных чисел, лежащих на отрезке [0,1], не исчерпывает этого отрезка.

Доказательство 2) оставим в качестве упражнения (см примеры 10.5)

Другой вариант рассуждения п2): Если бы множество R было счетным, счетным было бы и его подмножество [0,1], которое, как мы показали в п.1), является несчетным

Мощность множества.

Сравнивая те или иные бесконечные множества с множеством натуральных чисел, мы пришли к понятию счетного множества. Ясно, что множества можно сравнивать не только с множеством натуральных чисел; установление взаимно однозначного соответствия (биекции) позволяет сравнивать между собой любые два множества. Введем следующее определение.

Определение 10.5(1).

Два множества, М и N, называются эквивалентными (обозначение М ~ N), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.

Понятие эквивалентности применимо к любым множествам как конечным, так и бесконечным. Два конечных множества эквивалентны между собой тогда (и только тогда), когда число элементов у них одинаково. Определение счетного множества можно теперь сформулировать следующим образом:

Определения 10.5(2)

1.Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

2.Множество имеет мощность континуума (множество несчетно), если оно эквивалентно множеству действительных чисел .

Очевидно, что два множества, эквивалентные третьему, эквивалентны между собой; в частности, любые два счетных множества эквивалентны между собой.

Примеры 10.5(2)

1. Множества точек на любых двух отрезках [а, b] и [с, d] эквивалентны между собой. Рис.10.5(1) показывает, как установить между ними биекцию: точки р и q соответствуют друг другу, если они являются проекциями одной и той же точки r вспомогательного отрезка ef.

Рис. 10.5(1)

2. Множество всех точек на расширенной комплексной плоскости эквивалентно множеству всех точек на сфере. Биекцию можно установить, например, с помощью стереографической проекции (см. рис.10.5(2))

Рис.10.5(2)

3.Множество всех чисел в интервале (0,1) эквивалентно множеству всех точек на прямой. Соответствие можно установить, например, с помощью функции

Напомним, что областью определения функции арктангенс является вся числовая ось, а множеством значений – интервал ( -π/2, π/2).

4. Как было показано, отрезок [0,1] дает пример несчетного множества. Приведем

некоторые примеры множеств, эквивалентных отрезку [0,1].

1.)Множество всех точек любого отрезка [а, b] или интервала (а, b).

2.)Множество всех точек на прямой.

3.)Множество всех точек плоскости, пространства, поверхности

сферы, точек, лежащих внутри сферы, и т.д.

4.)Множество всех прямых на плоскости.

5.)Множество всех непрерывных функций одного или нескольких

переменных.