Сравнения по модулю. Свойства сравнений

Нормальный вид квадратичной формы
Для действительной квадратичной формы

где r = rank A.

Для комплексной квадратичной формы

r = rank A.

Для действительных квадратичных форм имеет место закон инерции квадратичных форм: число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к нормальному виду с помощью невырожденных линейных преобразований.

Классификация действительных квадратичных форм
Положительно-определенные
Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид Квадратичная форма является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны (критерий Сильвестра).

Отрицательно-определенные
Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда

Положительно-полуопределенные
Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид r < n, r = rank A.

Отрицательно-полуопределенные
Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид r < n, r = rank A.

Неопределенные
Квадратичные формы, которые принимают как положительные, так и отрицательные значения. Нормальный вид: r = rank A.

Сравнения по модулю и их свойства

Сравнимые числа

Говорят, что целое число сравнимо с целым числом по модулю , где — целое число, большее , если разность делится на без остатка.

Или, что то же самое, если числа и имеют одинаковый остаток от деления на .

Из определения следует, что если сравнимо с по модулю , то и сравнимо с по тому же модулю . Поэтому говорят просто, что числа и сравнимы по модулю .

Обозначение: . Знак (сравнимо) по начертанию совпадает со знаком "тождественно равно", но по смыслу не имеет с ним ничего общего.

Примеры: . Иногда удобно записывать цепочку сравнений. Тогда модуль указывается один раз в конце цепочки: .

Сравнение

Запись , где , , называется сравнением (сравнением первой степени) и означает, что число сравнимо с числом по модулю .

Свойства сравнений

1. Сравнимость с нулём. сравнимо с по модулю , тогда и только тогда, когда делится на . .

2. Рефлексивность. для любого целого .

3. Симметричность. Для любых целых и верно: .

4. Транзитивность. Для любых целых , и верно: .

5. Аддитивность. Если и , то .

6. Мультипликативность. Если и , то .

7. Умножение модуля. Если и и НОК , то .

8. Правила сокращения для сравнений следующие.

· Можно делить обе части сравнения на число, взаимно простое с модулем: если и , то .

· Можно одновременно разделить обе части сравнения и модуль на их общий делитель: если , то .

Классы вычетов

Множество всех чисел сравнимых с a по модулю n называется классом вычетов a по модулю n, и обычно обозначается или . Таким образом, сравнение равносильно равенству классов вычетов .