Найти координаты вектора длины , перпендикулярного векторам {-1;2;-2} и {1;2;4}, и образующего тупой угол с осью OX.
ЛЕКЦИЯ 3.
Решение задач по теме «Векторная алгебра»
Найти орт и направляющие косинусы вектора a{-4; 3; 12}.
Решение. Длина вектора ;
.
Орт вектора :
;
Направляющие косинусы: .
Проверить, являются ли векторы и А) коллинеарными; Б) ортогональными.
Решение. А) úç
Û
. Имеем:
Þ
.
Б) ^
Û
. Считаем:
Þ
^
.
Вычислить скалярное произведение векторов и , если , , , , угол между векторами и равен 60°.
Решение. Как решить задачу?
Формула (определение скалярного произведения) не применима, поскольку неизвестны длины векторов
и
и угол между ними.
Формула (скалярное произведение в координатах) также не подходит, т.к. неизвестны координаты векторов.
Воспользуемся свойствами линейности и коммутативности скалярного произведения:
=
(далее используем определение скалярного произведения для векторов и
)
.
В кубе найти угол между диагоналями и .
Решение. Построим прямоугольную систему координат OXYZ. Начало координат совместим с вершиной А, ось ОХ направим вдоль АВ, ось OY – вдоль AD, ось OZ – вдоль . Пусть длина стороны куба равна 1. Тогда
,
,
- орты осей координат.
Рассмотрим векторы и
. По правилу сложения и вычитания векторов
;
.
Вычисляем косинус угла между векторами по формуле
:
.
Находим угол:
.
В треугольнике ABC с вершинами A(1,2,3), B(-1,0, 4), C(4,2, -1) найти длину высоты BD.
Решение.
Идея решения задачи. Выразим площадь треугольника двумя способами: по стандартной школьной формуле и через векторное произведение
. Приравнивая площади, найдем высоту BD.
1. Находим координаты векторов и
(из координат конца вычитаем координаты начала):
{-1-1;0-2;4-3}={-2;-2;1};
={4-1;2-2;-1-3}={3;0;-4}.
2. Находим векторное произведение в координатах по формуле
.
.
3. Модуль (длина) векторного произведения вычисляется по формуле :
.
4. Площадь треугольника ABC равна
.
5. Находим длину основания:
.
6.Из формулы для площади треугольника
находим длину высоты BD:
;
.
Найти координаты вектора длины , перпендикулярного векторам {-1;2;-2} и {1;2;4}, и образующего тупой угол с осью OX.
Решение. 1 способ (с использованием скалярного произведения). Обозначим неизвестные координаты вектора . Два условия перпендикулярности векторов (
) и заданная длина (
) позволяют составить систему 3 уравнений с 3 неизвестными. Решая систему, находим координаты вектора. Сделать самостоятельно.
2 способ (с использованием векторного произведения). Воспользуемся определением: векторное произведение – это вектор, ортогональный обоим векторам-сомножителям. Поскольку два перпендикуляра к плоскости параллельны, векторное произведение есть вектор, коллинеарный вектору
. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны:
, коэффициент пропорциональности l найдем как отношение длин векторов.
Переходим к вычислениям.
;
условие пропорциональности координат позволяет выразить неизвестные через l:
Þ
Длина вектора равна
(не забудем модуль: ).
Находим величину l из условия :
Þ
, Þ
;
.
Координаты вектора равны:
или
.
Итак, мы нашли два вектора: и
. Они оба перпендикулярны векторам
и
, и имеют заданную длину
. Осталось последнее условие: вектор
образует тупой угол с осью OX. Это означает, что
(во второй четверти косинус отрицателен).
Следовательно, данному условию удовлетворяет второй вектор . Ответ:
.