Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Лекция 9. Определенный интеграл. Общее определение. Основные свойства. Основные методы вычисления определенных интегралов.

К понятию определенного интеграла приводят такие задачи, как:

- задача о площади криволинейной трапеции;

- задача о вычислении длины прямолинейного пути по заданной скорости;

- задача о вычислении объемов;

- задача о вычислении массы прямолинейного стержня и т.д.

Рассмотрим задачу о вычислении площади криволинейной трапеции

Рассмотрим криволинейную трапецию aABb, то есть плоская фигура, ограниченная графиком функции y=f(x), отрезками аА, вВ, прямыми x=a, x=b и осью ОХ.

Разобьем отрезок [a,b] точками на n произвольных отрезков , то есть . Длину каждого отрезка обозначим через . На каждом отрезке построим прямоугольник высотой , где , - значение функции в этой точке.

- площадь такого прямоугольника. Составим сумму таких произведений

(1) – интегральная сумма для функции f(x) на отрезке [a,b]

Интегральная сумма (1) выражает площадь ступенчатой фигуры и приближенно заменяет площадь криволинейной трапеции aABb.

Функция y=f(x) – непрерывная и площадь построенной фигуры при достаточно малых ”почти совпадает” с площадью рассматриваемой криволинейной трапеции. Можно для [a,b] выбирать различные и и таким образом получать последовательность разбиений и последовательность интегральных сумм. Можно доказать, что существует предел S переменной , когда , а длина , то есть . Предел S – площадь криволинейной трапеции.

Определение

Предел S интегральной суммы для функции y=f(x) на отрезке [a,b], когда число n отрезков неограниченно возрастает, а наибольшая длина отрезка называют определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a,b].

Обозначение (2)

a– нижний предел интегрирования;

b – верхний предел интегрирования;

[a,b] – отрезок интегрирования;

f(x) – подынтегральная функция;

x – переменная интегрирования.

Функцию f(x) интегрируема на отрезке [a,b], если для нее существует предел (2).

Замечание

Если f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то f(x) интегрируема и на .

Таким образом, возвращаясь к задаче о площади криволинейной трапеции, можно сказать, что она может быть вычислена с помощью определенного интеграла .

Из определения следует, что величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования

= =...= и т.д.

Формула Ньютона-Лейбница

Вычисление определенного интеграла основано на применении формулы Ньютона-Лейбница.

Пусть f(x) – интегрируема на отрезке [a,b] и F(x) – одна из первообразных функции f(x), то есть f(x)=F’(x). Тогда приращение первообразной на отрезке [a,b], то есть F(b)-F(a) равно значению определенного интеграла

(1)

Другая форма записи - двойная подстановка от a до b

Таким образом, чтобы вычислить определенный интеграл, достаточно найти одну из первообразных подынтегральной функции и вычислить ее значение сначала при x=b, затем при x=a и из первого результата вычесть второй.

Пример

Если F(x)= , тогда

Следовательно, от выбора первообразной значение интеграла не зависит.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Пусть f(x0 непрерывна на отрезке [a,b]. Рассмотрим интеграл

(1), где (во избежании путаницы, переменная интегрирования обозначена другой буквой)

Если F(x) – первообразная функции f(x), то есть F’(x)=f(x), то согласно формуле Ньютона-Лейбница имеем

(2), отсюда

Следовательно

Производная определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому пределу равна значению подынтегральной функции для этого предела:

(3)

Таким образом, интеграл

(4)

является первообразной для подынтегральной функции f(x).

Отметим, что из формулы (2) следует, что Ф(а)=0, то есть Ф(х) есть та первообразная для функции f(x), которая обращается в 0 при х=а.

Пример

Рассмотрим определенный интеграл с переменным нижним пределом

, где

На основании формулы Ньютона-Лейбница имеем

Таким образом, производная определенного интеграла с переменным нижним пределом по этому пределу равна значению подынтегральной функции для этого предела, взятому с обратным знаком.