Момент импульса механической системы

Рассмотрим суммарный момент импульса системы точек (тела) относительно некоторой точки О.

При переходе к другой точке О₁ радиус-векторы точек системы преобразуются , поэтому

Суммарный импульс системы равен импульсу центра масс

.

Поэтому в системе отсчета, где центр масс тела покоится , суммарный момент импульса не зависит от точки, относительно которой он вычисляется.

Если рассматривается движение твердого тела, то возможное движение в случае – это вращение вокруг центра масс. В этом смысле момент импульса описывает вращательное движение системы (тела).

Найдем производную от суммарного момента импульса

.

Силы, действующие на точки системы, разделим на внутренние, действующие между точками системы и внешние – со стороны тел, не входящих в систему: .

.

Внутренние силы подчинятся третьему закону Ньютона - они лежат на прямых линиях, попарно соединяющих точки, противоположны по направлению и одинаковы по величине

.

Для каждой из таких пар сил можно ввести одинаковое плечо , поэтому

.

Окончательно

.

Уравнение динамики вращательного движения системы точек

.

Производная от вектора суммарного момента импульса системы равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему.

Покоординатное равенство

, , .

Момент импульса твердого тела.

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью w. Выделим в теле малую частицу массой Dm_i. Найдем момент импульса этой частицы относительно некоторой точки О на оси вращения. Если радиус-вектор частицы , вектор импульса , то вектор момента импульса частицы приложен к точке О и направлен перпендикулярно к векторам и , т.е. под некоторым углом b_i к оси z. Траекторией частицы Dm_i является окружность, поэтому вектор импульса направлен по касательной к этой окружности. Следовательно, угол между векторами и равен 90⁰ (как угол между образующей и направляющей конуса). Тогда величина момента импульса частицы .

Пусть - радиус окружности – траектории частицы. Тогда . Рассмотрим проекцию вектора момента импульса на ось z: .

Учитывая, что , получаем: .

Но . Тогда

Для всего тела .

В это выражение входят параметры движения частиц, которые не зависят от положения точки О. Поэтому величина момента импульса вдоль оси z не зависит от положения точки на оси, для которой она вычисляется. В этом выражении величина

называется моментом инерции твердого тела относительно оси z (единица измерения кг×м²). Для сплошных тел суммирование можно заменить интегралом по массе тела

.