Понятие аналитического сигнала [1,25]

СИГНАЛЫ и ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Тема 10/б: АНАЛИТИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ

Нуль и единица - от Бога, все остальное - дело рук человеческих.

Леопольд Кронекер. Немецкий математик, XIX в.

И в этом остальном немалый вклад математиков. У них есть мания упрощения вычислений путем изобретения все новых и новых величин. Оно и понятно. Когда вводишь новое понятие, чувствуешь себя наравне с Богом.

Николай Пятин. Геофизик Уральской школы, XX в.

Содержание: 10.1. Понятие аналитического сигнала. Комплексное представление вещественных сигналов. Аналитический сигнал. Спектральная плотность аналитического сигнала. 10.2. Примеры применения аналитических сигналов. Огибающая и мгновенная фаза сигналов. Мгновенная частота. Огибающие модулированных сигналов. Анализ каузальных систем. Литература.

Введение

Аналитический сигнал – это один из способов комплексного представления сигнала, который применяется при анализе сигналов и систем их обработки. Он позволяет ввести в анализ понятия огибающей и мгновенной частоты сигнала.

Понятие аналитического сигнала [1,25].

Комплексное представление вещественных сигналов. При математическом анализе очень часто вместо вещественных сигналов с целью упрощения математического аппарата преобразований данных удобно использовать эквивалентное комплексное представление сигналов. Так, например, в теории электрических цепей вещественная запись синусоидального напряжения

u(t) = U_o cos (w_ot+j)

заменяется комплексной формой записи:

, , при этом .

В общем случае, произвольный динамический сигнал s(t), заданный на определенном участке временной оси (как конечном, так и бесконечном) имеет комплексную двустороннюю спектральную плотность S(w). При раздельном обратном преобразовании Фурье реальной и мнимой части спектра S(w) сигнал s(t) разделяется на четную и нечетную составляющие, которые являются двусторонними относительно t = 0, и суммирование которых полностью восстанавливает исходный сигнал. На рис. 10.1.1 приведен пример сигнала (А), его комплексного спектра (В) и получения четной и нечетной части сигнала из реальной и мнимой части спектра (С).

Рис. 10.1.1. Сигнал, спектральная плотность сигнала, четная и нечетная составляющие.

Аналитический сигнал. Можно выполнить обратное преобразование Фурье и в другой форме - раздельно для положительных и отрицательных частот спектра:

s(t) = S(w)·exp(jwt) dw + S(w)·exp(jwt) dw. (10.1.1)

Информация в комплексном спектре сигнала является избыточной. В силу комплексной сопряженности полную информацию о сигнале s(t) содержит как левая (отрицательные частоты), так и правая (положительные частоты) часть спектра S(w). Аналитическим сигналом, отображающим вещественный сигнал s(t), называют второй интеграл выражения (10.1.1), нормированный на p, т.е. обратное преобразование Фурье спектра сигнала s(t) по положительным частотам:

z_s(t) = . (10.1.2)

Дуальность свойств преобразования Фурье определяет, что аналитический сигнал z_s(t), полученный из односторонней спектральной функции, всегда является комплексным и может быть представлен в виде:

z_s(t) = Re z(t) + j·Im z(t).

Аналогичное преобразование первого интеграла выражения (10.1.1) дает сигнал z_s*(t), комплексно сопряженный с сигналом z(t):

z_s*(t) = Re z(t) - j·Im z(t),

что наглядно видно на рис. 10.1.2 при восстановлении сигналов по односторонним частям спектра, приведенного на рис. 10.1.1-В.

Рис. 10.1.2. Сигналы z(t) и z*(t).

При сложении функций z_s(t) и z_s*(t) с учетом нормировки в (10.1.2) только на 1/π, а не на 1/2π, как в (10.1.1), мы обязаны получить полный исходный сигнал s(t):

s(t) = [z_s(t)+z_s*(t)]/2 = Re z(t).

Отсюда следует, что реальная часть аналитического сигнала z_s(t) равна самому сигналу s(t).

Реальная и мнимая части спектра произвольных каузальных сигналов связаны преобразованием Гильберта. Оно позволяет производить определение любой части частотной характеристики каузальной функции, действительной или мнимой, путем свертки другой ее части с оператором Гильберта 1/pf. Аналогично, мнимая часть аналитического сигнала z_s(t) является аналитически сопряженной с его действительной частью Re z(t) = s(t) через преобразование Гильберта, и называется квадратурным дополнением сигнала s(t):

Im(z(t)) = = TH[s(t)] = s(t) _* hb(t), (10.1.3)

hb(t) = 1/(πt),

z_s(t) = s(t) + j× . (10.1.4)

где индексом обозначен сигнал, аналитически сопряженный с сигналом s(t), hb(t) – оператор Гильберта.

Таким образом, квадратурное дополнение сигнала s(t) представляет собой свертку сигнала s(t) с оператором 1/(πt) и может быть выполнено линейной системой с постоянными параметрами:

= , (10.1.3')

Аналитический сигнал зависит от действительного аргумента, является однозначным и дифференцируемым. На комплексной плоскости он отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются от аргумента, а проекция сигнала на вещественную ось для любого значения аргумента равна значению исходного сигнала s(t). Какой-либо новой информации аналитический сигнал не несет, так как получен линейным преобразованием из исходного сигнала и представляет собой его новую математическую модель.

Почему именно оператор Гильберта применяется для получения квадратурного дополнения сигнала? Какую физическую операцию он выполняет? Ответ на этот вопрос может быть получен при рассмотрении спектра аналитического сигнала.

Спектральная плотность аналитического сигнала, если он сформирован непосредственно во временной области, определяется обычным преобразованием Фурье:

Z_s(w) = z_s(t) exp(-jwt) dt.

Эта функция, с учетом определения аналитического сигнала по выражению (10.1.2), должна быть отлична от нуля только в области положительных частот, где ее значения (в силу нормировки на p, а не на 2p) должны быть равны удвоенным значениям спектральной плотности сигнала s(t):

Z_s(w) = (10.1.5)

С другой стороны, при непосредственном преобразовании Фурье левой и правой части формулы (10.1.4) аналитического сигнала z_s(t), получаем:

Z_s(w) = S(w) + j . (10.1.6)

Данное выражение действительно для всей частотной оси (от -¥ до +¥) и должно быть равно выражению (10.1.5). А это означает, что левая часть спектра (отрицательные частоты w) сигнала (10.1.6) должна быть обращена в ноль, аналогично формированию каузальной функции из ее четной и нечетной части. Это может быть выполнено следующим образом.

Рис. 10.1.3.

Если левые части спектра сигнала S(w) умножить на -1, обнулить реальную часть на частоте w=0 и оставить без изменения правые части спектра, то будут получены функции, показанные пунктиром на рис. 10.1.3), которые дают нули в левой части спектра при сложении с исходной функцией S(w) и увеличивают в 2 раза правые части спектра. Такая операция может быть выполнена умножением спектра S(w) на сигнатурную функцию sgn(w):

sgn(w) = (10.1.7)

Однако при этом реальная часть новой функции sgn(w)·S(w), как это можно видеть на рис. 10.1.3, становится нечетной, а мнимая часть четной, что не соответствует статусу спектральных функций. Для восстановления статуса полученный результат нужно дополнительно умножить на –j. Применяя для левой и правой части частотных аргументов индексирование соответственно w_l и w_r, можно записать подробные выражения для спектров:

S(w) = Re S(w_l) + j·Im(w_l) + Re S(w_r) + j·Im(w_r),

= j·Re S(w_l) - Im(w_l) - j·Re S(w_r) + Im(w_r).

При умножении квадратурной функции на j (для выражения в (10.1.6)):

j· = -Re S(w_l) - j·Im(w_l) + Re S(w_r) + j·Im(w_r).

Отсюда нетрудно видеть результат:

Z_s(w) = S(w) + j = = 2·Re S(w_r) + j·2·Im(w_r) = 2·S(w_r),

что полностью соответствует выражению (10.1.5). В краткой форме:

= = -j×sgn(w)×S(w), (10.1.8)

Hb(w) = -j×sgn(w) = (10.1.9)

Таким образом, спектральная плотность аналитически сопряженного сигнала образуется из спектра S(w) исходного сигнала s(t) умножением на функцию -j×sgn(w). Это обеспечивает при суммировании S(w) + j удвоение амплитуд частотных составляющих в области положительных частот и их взаимную компенсацию в области отрицательных частот.

Рис. 10.1.4.

Из выражения (10.1.8) в спектральной области непосредственно следует соответствующая связь функций s(t) и во временной области:

= s(t) _* hb(t), (10.1.10)

s(t) = - _* hb(t). (10.1.11)

где hb(t) = TF[-j×sgn(w)] = 1/(pt) – обратное преобразование Фурье функции -j×sgn(w).

Пример преобразования сигнала x(t) оператором Гильберта для формирования аналитического сигнала z_x(t) = x(t) + j· приведен на рис. 10.1.4.

Частотную характеристику оператора Гильберта (10.1.9) можно записать и в следующем виде:

Hb(w) = |Hb(w)|×exp(jj_h(w)), где |Hb(w)| = 1.

Hb(w) = -j×sgn(w) = , (10.1.12)

Если спектр функции x(t) также представить в форме

S(w) = |S(w)|×exp(jj_s(w)),

то выражение (10.1.8) преобразуется к следующей форме:

= |S(w)|×exp(jj_s(w))×exp(jj_h(w)) = |S(w)|×exp[j(j_s(w)+j_h(w))], (10.1.8')

т.е. модуль |S(w)| - амплитудный спектр сигнала как результат преобразования Гильберта сигнала s(t), не изменяется и остается равным амплитудному спектру сигнала s(t). Фазовый спектр сигнала (начальные фазовые углы всех гармонических составляющих сигнала) сдвигается на -90^о при w > 0 и на 90^о при w < 0 относительно фазового спектра сигнала s(t). Но такой фазовый сдвиг означает не что иное, как превращение косинусных гармоник в синусные, а синусных в косинусные. Это можно наглядно видеть на единичной гармонике. Так, если x(t) = cos(2pf_ot), то имеем следующее преобразование Гильберта через частотную область:

(t) = TH[x(t)] Û TF[TH[x(t)]] = -j sgn(f)×[d(f+f_o)+d(f-f_o)]/2.

(f) = -j×[-d(f+f_o)+d(f-f_o)]/2 = j·[d(f+f_o)-d(f-f_o)]/2.

Но последнее уравнение - спектр синусоиды. При обратном преобразовании Фурье:

(t) = TF^-1[ (f)] = sin(2pf_ot).

Рис. 10.1.5.

При x(t) = sin(2pf_ot) аналогичная операция дает (t) = -cos(2pf_ot). Знак минус демонстрирует отставание (запаздывание) выходного сигнала преобразования, как операции свертки, от входного сигнала. Для гармонических сигналов любой частоты с любой начальной фазой это запаздывание составляет четверть периода колебаний. На рис. 10.1.5 этот сдвиг на четверть периода для единичной гармонической составляющей (несущей частоты радиоимпульса) виден достаточно наглядно.

Таким образом, аналитический сигнал, по существу, представляет собой двух ортогональных сигналов, все гармонические составляющие которых сдвинуты по фазе на 90⁰ друг относительно друга.