Пересечение прямой с поверхностью

В общем случае указанная задача решается следующим образом. Через заданную прямую проводят вспомогательную плоскость и строят линию пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью геометрического тела. Точки пересечения этих двух линий являются искомыми точками пересечения.

Пример 1. Построить точки пересечения прямой l с пирамидой. Определить видимость прямой (рис.45).

Через заданную прямую проведем вспомогательную плоскость частного положения. При пересечении гранной поверхности с плоскостью получается многоугольник, вершины которого находятся на ребрах. При пересечении этого многоугольника с заданной прямой l получим искомые точки.

Рис.45

Через прямую l проведем фронтально-проецирующую плоскость α^П₂, l₂≡ α₂ Строим линию пересечения плоскости α с поверхностью пирамиды. На фронтальной проекции отметим 1₂, 2₂, 3₂ , в которых α₂ пересекает проекции ребер. В проекционной связи отметим 1₁, 2₁ и 3_1. Соединяем горизонтальные проекции1₁,2₁,3₁ ломаной линией с учетом видимости. На горизонтальной плоскости проекций все грани пирамиды видимы. Следовательно, треугольник 1₁-2₁-3₁ видимый. На пересечении горизонтальной проекции l₁ с горизонтальной проекцией 1₁-2₁-3₁ отметим горизонтальные проекции M₁ и N₁ точек М и N. Строим фронтальные проекции M₂ и N₂ точек М и N на l₂.

Определяем видимость прямой l. Между полученными точками M и N на обеихпроекциях прямая невидима всегда. Горизонтальная проекция l₁ невидима только между M₁N₁ . На плоскости П₂: точка М находится на видимой грани ASB, следовательно, М₂ видима и фронтальная проекция l₂ видима до М₂. Точка N принадлежит грани АSC, невидимой относительно П₂. Следовательно, фронтальная проекция N₂ невидима и фронтальная проекция l₂ от N₂ до ребра S₂C₂ невидима (рис.45.).

Пример 2. Построить точки пересечения прямой l с конусом. Определить видимость прямой (рис.46).

Для определения точек пересечения прямой с конусом целесообразно через прямую l провести плоскость, проходящую через вершину конуса S, которая пересечет поверхность конуса по образующим. Зададим плоскость α двумя пересекающимися прямыми l и m. Для определения образующих S4 и S5, по которым плоскость α пересекает поверхность конуса, построена линия 2–3 пересечения плоскости α с плоскостью основания конуса. На пересечении α₁ с основанием конуса отметили 4₁ и 5₁ точек 4 и 5. Горизонтальные проекции образующих S₁4₁и S₁5₁ пересекаются с горизонтальной проекцией прямой l в точках М₁ и N_1, а затем по линиям связи отмечаем проекции М₂ и N₂ точек М и N.

Рис.46

Для определения видимости достаточно установить видимость точек пересечения ее с поверхностью. Если точка видна, то и прямая l видна; если точка не видна, то и прямая l не видна. Видимость точек определена по видимости образующих, проходящих через них. Точка N₂ невидима, следовательно прямая l₂ невидима до очерковой образующей.За очерком поверхности прямая видима всегда.

Пример 3. Построить точки пересечения прямой l со сферой (рис.47).

Рис.47

Проведем через прямую вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскостью. Плоскость пересечет поверхность сферы по окружности, которая на плоскость П₂ спроецируется в эллипс. Чтобы не строить эллипс, воспользуемся методом дополнительного проецирования на плоскость П₄ – горизонтально-проецирующую и параллельную прямой l. Тогда линия пересечения спроецируется на П₄ в окружность радиуса R. Построена дополнительная проекция прямой АВ. На пересечении отмечены дополнительные проекции точек М₄ и N_4. Затем построены горизонтальные и фронтальные проекции точек М и N. Видимость прямой l установлена по видимости точек М и N. Точка N расположена выше экватора сферы, т.е. на видимой относительно П₁ половине сферы, а точка М – ниже экватора, т.е. на невидимой половине. Поэтому относительно П₁ точка N- видима, а точка М – невидима (закрыта в скобки). Относительно П₂ точки М и N невидимы, поскольку находятся за главным меридианом сферы (рис.47).

Пересечение поверхностей

Для построения линии пересечения двух поверхностей нужно найти ряд точек, общих для обеих поверхностей, и соединить полученные точки в определенной последовательности с учетом видимости.

Характер линии пересечения поверхностей зависит от формы поверхностей и их взаимного расположения. В общем случае линией персечения может быть:

а) пространственная ломаная линия – при пересечении многогранников

б) пространственная кривая – при пересечении двух кривых поверхностей или состоящая из отрезков плоских кривых при пересечении кривой поверхности и многогранника.

В некоторых случаях линия пересечения может быть плоской кривой –окружностью, эллипсом.

Пример 1. Построить линию пересечения цилиндра и усеченного конуса (рис.48).

Две кривые поверхности пересекаются по пространственной кривой.

Цилиндрическая поверхность является фронтально-проецирующей. Следовательно, фронтальная проекция линии пересечения совпадает с фронтальным очерком цилиндра – окружностью. Построим горизонтальную проекцию, исходя из условия принадлежности точек этой линии поверхности усеченного конуса.

Рис.48

Отметим характерные точки – фронтальные проекции точек А₂ и Т₂ на пересечении фронтальных очерков цилиндра и усеченного конуса. Отметим фронтальные проекции M₂, N₂, в которых будет меняться видимость линии пересечения на горизонтальной плоскости проекций. Точки K₂, L₂ –низшие точки линии пересечения. Точки D₂, E₂, G₂, H₂ – точки изменения видимости на профильной плоскости проекций. В₂,С₂ – выбраны произвольно на фронтальном очерке цилиндра. Горизонтальные проекции точек, принадлежащих поверхности усеченного конуса находим на окружностях соответствующего радиуса. Соединим полученные точки плавной линией с учетом видимости. Точки, принадлежащие видимой части поверхности цилиндра относительно горизонтальной плоскости проекций, соединяем сплошной линией. В точках М₁, N₁, происходит изменение видимости. Определяем видимость горизонтальных и фронтальных очерков цилиндра и усеченного конуса (рис. 48).

Пример 2. Построить линию пересечения сферы с конусом (рис.49).

Обе кривые поверхности общего вида. У этих поверхностей имеется общая плоскость симметрии, поэтому линия пересечения будет симметрична относительно этой плоскости.

Отметим характерные точки линии пересечения. Точки А и В лежат на пересечении фронтальных очерков. Точки С и D найдем на пересечении экватора сферы a и окружности b поверхности конуса, лежащих в одной горизонтальной плоскости α. Аналогично могут быть найдены и другие точки линии пересечения. Так точки М и N строим как пересечение окружностей c и d, принадлежащих одной горизонтальной плоскости β.

Рис. 49

Полученные точки соединяем плавной кривой с учетом видимости. При установлении видимости следует помнить, что эта линия будет видима, если она принадлежит как поверхности сферы, так и конуса. Точки А и В отделяют видимую относительно фронтальной плоскости часть линии пересечения (она проходит через точки А, С, М, В) от невидимой. В данной задаче фронтальные проекции видимой и невидимой части линии пересечения совпадают.

Точки С и D отделяют видимую относительно горизонтальной плоскости часть линии пересечения от невидимой. Точка А видима относительно горизонтальной плоскости проекций, так как лежит выше экватора сферы. Следовательно, линия, проходящая через точки А, С, D – видима, остальная часть линии невидима. Определим видимость очерков конуса и сферы (рис.49).

Метрические задачи