Зачет № 7. Координаты и векторы
Вопросы
1. Прямоугольная система координат в пространстве (определение, названия, примеры).
2. История открытия прямоугольной системы координат.
3. Теорема о расстоянии между точками в пространстве (формулировка, доказательство).
4. Уравнение сферы с центром в точке A(x0,y0,z0) и радиусом R (формулировка, доказательство).
5. Понятие координат вектора (определение, примеры).
6. Теорема о разложении вектора по координатным векторам (формулировка, доказательство).
7. Теорема о координатах суммы двух векторов (формулировка, доказательство).
8. Понятие скалярного произведения векторов (определение, скалярный квадрат, примеры).
9. Теорема о выражении скалярного произведения векторов через их координаты (формулировка, доказательство).
10. Уравнение плоскости в пространстве (формулировка, доказательство).
11*. Уравнение прямой в пространстве (формулировка, доказательство).
12. Аналитическое задание фигур в пространстве (сфера, шар, цилиндр, многогранник).
13*. Понятие о задачах оптимизации (примеры, этапы решения).
14*. Полярная система координат на плоскости (определение, названия, примеры).
15*. Уравнение окружности в полярных координатах (вывод, изображение).
16*. Уравнение спирали Архимеда в полярных координатах (вывод, изображение).
17*. Уравнение логарифмической спирали в полярных координатах (вывод, изображение).
18*. Уравнение трилистника в полярных координатах (вывод, изображение).
19*. Сферические координаты в пространстве (определение, названия, примеры).
20*. Исторические сведения об измерении Земли.
Задачи
1. Докажите, что точки A(-1,3,4), B(-2,0,5), C(1,1,-3), D(2,4,-4) являются вершинами параллелограмма. Найдите косинус угла между его диагоналями.
2. Найдите расстояние от точки K(1,2,-7) до плоскости, заданной уравнением 12x + 4y + 3z – 4 = 0.
3. Сфера (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 проходит через начало координат. Докажите, что уравнение касательной плоскости к сфере в начале координат имеет вид ax + by + cz = 0.
4. Найдите косинус угла между плоскостями 2x + 3y + 6z – 5 = 0 и 4x + 4y + 2z – 7 = 0.
5. Найдите условие касания двух сфер, заданных уравнениями (x – x1)2 + (y – y1)2 + (z – z1)2 = R12; (x – x2)2 + (y – y2)2+ (z – z2)2 = R22.
6. Найдите уравнение плоскости, в которую преобразуется плоскость 8x – 3y + z – 1 = 0 при центральной симметрии относительно начала координат.
7. Найдите уравнение плоскости, в которую преобразуется плоскость 5x + 3y – 7z + 2 = 0 при осевой симметрии относительно оси аппликат.
8. Найдите уравнение плоскости, в которую преобразуется плоскость 2x – y + 11z – 8 = 0 при зеркальной симметрии относительно координатной плоскости Oxy.
9. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку H(1,3,-1) параллельно плоскости 3x + y – z + 5 = 0.
10. Прямая задана точками A(6,0,2) и B(1,-3,4). Найдите координаты точки C(x,y,8), которая принадлежит прямой AB.
11. Найдите координаты единичного вектора 
, если он перпендикулярен векторам 
(3,3,0) и 
(0,3,3).
12. Найдите точку пересечения трех плоскостей 5x – z + 3 =0, 2x – y – 4z + 5 = 0, 3y + 2z – 1 = 0.
13. Из точки A(x0,y0,z0), лежащей вне сферы (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2, проведена к ней касательная MA, где точка M – точка касания. Найдите отрезок MA.
14. Найдите условие того, что две сферы (x – x1)2 + (y – y1)2 + (z – z1)2 = R12 и (x – x2)2 + (y – y2)2 + (z – z2)2 = R22касаются: а) внешним образом; б) внутренним образом.
15*. Найдите уравнение сферы, проходящей через начало координат и точки A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c). Докажите, что прямая, проходящая через начало координат перпендикулярно плоскости ABC, пересекает плоскость и сферу соответственно в точках M и N таких, что OM:ON = 1:3.
16*. Изобразите многогранник, задаваемый неравенствами: |x| + |y| + |z| 
6; |x| 1; |y| 2; |z| 3.
17*. Найдите точку пересечения прямой, заданной системой уравнений 
с плоскостью 3x – y +2z – 5 = 0.
18*. Изобразите спирали Архимеда, задаваемые уравнениями: r = 
; r = 2 .
19*. Изобразите кривую, задаваемую уравнением r = sin4 .
20*. Найдите сферические координаты вершин прямоугольного параллелепипеда, который задается системой неравенств 
Зачёт по геометрии №1 по теме «Аксиомы стереометрии. Параллельность прямых, прямой и плоскости»
Вариант 1.
1. Докажите теорему о плоскости, проходящей через прямую и точку, не лежащую
на ней.
2. Докажите теорему о трёх параллельных прямых.
Задача 1.
Точка М не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD
параллельна плоскости ABM.
Задача 2.
Точка С лежит на отрезке АВ, причём АВ:ВС=4:3. отрезок CD, равный 12см,
параллелен плоскости α, проходящей через точку В. Докажите, прямая AD
пересекает плоскость α в некоторой точке Е, и найдите отрезок ВЕ.
Вариант 2.
1. Докажите теорему о плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.
2. Докажите признак параллельности прямой и плоскости.
Задача 1.
Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD. Докажите, что
прямая AD параллельна плоскости ВМС.
Задача 2.
На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D и К так, что
DK=5см и BD:DA=2:3. Плоскость α проходит через точки В и С и параллельна
отрезку DK. Найдите длину отрезка ВС.
Вариант 3.
1. Докажите теорему о параллельных прямых.
2. Сформулируйте аксиомы стереометрии и сделайте рисунки.
Задача 1.
Сторона АС треугольника АВС параллельна плоскости α, а стороны АВ и ВС
пересекаются с этой плоскостью в точках М иN. Докажите, что 
АВС ~ 
МВN.
Задача 2.
Основание АВ трапеции АВСD параллельно плоскости α, а вершина С лежит в этой
плоскости. Докажите, что: а) основание CD лежит в плоскости α; б) средняя линия
трапеции параллельна плоскости α.