Лабораторная работа № 2
Цель работы: изучить использование матриц влияния на примере расчета статически определимых ферм.
Порядок выполнения работы:
1) составить матрицу влияния для заданной фермы;
2) рассчитать усилия фермы с единичной нагрузкой во всех узлах фермы, а также рассчитать 2–4 примера с различной заданной нагрузкой (симметричной и несимметричной;
3) для всех примеров сделать рисунки с изображением полученных внутренних усилий в ферме;
4) сравнить полученные результаты расчета с результатами, полученными с помощью методики расчета фермы лабораторной работы № 1;
5) сделать выводы (проанализировать в каких стержнях возникает наибольшее усилие).
Методика расчета. При проведении расчетов, ориентированных на компьютерные технологии, в строительной механике применяют дискретные расчетные схемы и методы матричного исчисления [1]. Для примера такого подхода рассмотрим расчет фермы с помощью матрицы влияния продольных усилий.
Действующие на ферму нагрузки представим в виде вектора нагрузок (2.1), компонентами которого являются значения заданных нагрузок (P1..Pt), пронумерованных в определенном порядке. Результатом расчета будет служить вектор усилий (2.2), в котором в заданном порядке будут перечислены значения продольных усилий в конкретных стержнях фермы (N1..Ns).
где t – количество действующих нагрузок; s – количество стержней фермы.
Матрица влияния продольных усилий фермы записывается в виде:
Каждый элемент nikматрицы влияния представляет собой величину продольного усилия в i-ом стержне фермы при действии на ферму только одной единичной нагрузки Pk= 1.
Вектор продольных усилий в стержнях фермы {N} будет определяться произведением матрицы влияния фермы [LN] на вектор нагрузок {P}.
{N} = [LN] ∙ {P}; (2.4)
Пример расчета.Для примера рассмотрим расчет фермы, рассмотренной ранее в лабораторной работе № 1 (рис. 2.1).
Рисунок. 2.1
Составим матрицу влияния фермы. Так как в данной ферме 13 стержней и к ней приложено 4 внешних силы, то матрица влияния будет иметь размеры
4 x13.
Для определения элементов ni,kматрицы влияния данной фермы необходимо поочередно просчитать значения внутренних усилий в каждом i-ом стержне фермы при поочередном действии на ферму единичных нагрузок Pk=1, параллельно заполняя соответствующие столбцы матрицы влияния:
при P1=1; P2=0; P3=0; P4=0 (1 столбец);
при P1=0; P2=1; P3=0; P4=0 (2 столбец);
при P1=0; P2=0; P3=1; P4=0 (3 столбец);
при P1=0; P2=0; P3=0; P4=1 (4 столбец).
Матрица влияния получится в следующем виде:
Используя полученную матрицу влияния, выполним примеры расчета фермы на различную нагрузку в системе компьютерной алгебры MathCAD:
а) при P1=1; P2=1; P3=1; P4=1;
б) при P1=10; P2=20; P3=30; P4=40 (несимметричное нагружение);
в) при P1=10; P2=20; P3=20; P4=10 (симметричное нагружение);
Проанализировав результаты расчетов, можно сделать следующие выводы:
- наиболее растянутые стержни:
- № (N =) – при несимметричном нагружении, № (N = ) – при симметричном нагружении;
- наиболее сжатые стержни – № (N = ) – при несимметричном нагружении,
- № (N = ) – при симметричном нагружении;
- сравнивая полученные результаты расчета с результатами, полученными с помощью методики расчета фермы лабораторной работы № 1, видим, что они совпадают.
| устанавливаем индексацию с 1 вместо 0 (по умолчанию) |
| Расчет на единичную нгрузку |
| Вектор внутренних усилий N |
| Расчет на несимметричную нагрузку |
| Расчет на симметричную нагрузку |
| Расчет на несимметричную и симметричную нагрузку с помощью лабораторной работы №1 |
| Задание системы уравнений |
| Расчет на несимметричную и симметричную нагрузку с помощью лабораторной работы №1 |
| Задание системы уравнений |
