Понятие локального глобального экстремума. Существование решения

В задаче (1.1.1) – (1.1.3) различают точки минимума двух видов.

Точка называется точкой локального минимума, если , где - e-окрестность точки , .

Точка называется точкой глобального минимума, если .

Множество называется компактным, если любая последовательность имеет, хотя бы одну предельную точку . Известно, что всякая ограничённая последовательность имеет хотя бы одну предельную точку. Поэтому в компактным является любое замкнутое ограниченное множество.

Следующая теорема даёт достаточные условия существование оптимального решения задачи (1.1.1)-(1.1.3).

Теорема 1 (Вейерштрасса). Для того чтобы в задаче (1.1.1)-

(1.1.3) существовала точка глобального минимума, достаточно, чтобы допустимое множество было компактно, а целевая функция непрерывна на .

В силу сложности проверки ограниченности множества X, а зачастую, в силу его неограниченности, на практике часто применяется:

Следствие (теоремы Вейерштрасса). Если функция f непрерывна в и , то достигает своего глобального минимума в любом замкнутом подмножестве .