Спектральное разложение стационарного процесса
Стационарным (точнее , стационарным в широком смысле) случайным процессом X(t) называется случайный процесс, математическое ожидание которого постоянно, а корреляционная функция зависит от разности своих аргументов, т.е.
где 
, 
Дисперсия стационарной случайной функции постоянна
Стационарный случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывным спектром , если существует такая действительная неотрицательная функция 
, определённая на всей оси частот 
и называемая спектральной плотностью (энергетическим спектром) , что справедливы интегральные формулы Винера-Хинчина:
Спектральная плотность равна пределу отношения дисперсии, приходящийся на данный интервал частот ,к длине этого интервала,когда последняя стремится к нулю 
Формулы Винера - Хинчина могут быть также записаны в экспоненциальном виде
Как , так и 
- действительные , неотрицательные чётные функции, но рассматривается только в интервале (0; 
). Дисперсия стационарного процесса с непрерывным спектром может быть выражена в виде интеграла от спектральной плотности 
Нормированной корреляционной функций
называется функция 
Полезными характеристиками стационарных случайных процессов с непрерывным спектром является эффективная ширина спектра
и средний интервал корреляции
Геометрически средний интервал корреляции 
равен основанию прямоугольника с высотой 
, площадь которого равна площади под кривой 
, 
эффективная ширина спектра 
равна основанию прямоугольника с высотой 
, площадь которого равна площади под кривой , 
12.1 Случайная функция X(t) имеет характеристики 
и 
12.2 Определить стационарна ли функция 
?
Решение : 
Y(t)- стационарный процесс
12.2 Случайная функция X(t) имеет характеристики
Определить являются ли стационарными функции X(t) и Y(t),
если Y(t)=t 
?
Решение:
X(t) - стационарная функция
Y(t) не является стационарной функцией , т.к. 
зависит не только от 
, но и от каждого из аргументов t1 и t2
12.3 Случайная функция X(t) имеет характеристики
201
Найти характеристики случайной функции 
Определить стационарны ли функции X(t),Y(t) ?
 |
Решение: X(t)- стационарный процесс ,
Y(t) не является стационарным процессом , действительно,
т.е. зависит от t
12.4 Найти характеристики случайной гармоники X(t)=A cos (ωt+ 
) ,
где A и ω - неслучайные амплитуда и частота , 
- случайная начальная фаза , равномерно распределённая на отрезке [0;2p].
Показать , что X(t) -стационарный процесс
Решение :т.к. случайная величина 
распределена равномерно на [0;2p] , то дифференциальная функция для неё f( )= 
Найдём математические ожидания функций случайного аргумента ,
Y=cos и Z=sin
M[Y]=M[cos ]= 
f ( )d = 
M[Z]=M[sin ]= 
·( )d = 
)]= 
-A sin ωt sin ]=
=Acosωt·M[cos ]-Asinωt·M[sin ]= 0 – 0 =0
Найдём математические ожидания функций
Y=cos2 и Z=sin2
M[Y]=M[cos2 ]= ·f( )d = 
Преобразуем произведение
12.5 Стационарный случайный процесс X(t) имеет корреляционную функцию 
(b>0, 
>0).
Найти корреляционную функцию и дисперсию процесса .
Решение :
Покажем , что
поэтому 
 |
 |
12.6 Найти корреляционную функцию шума, имеющего равномерную спектральную плотность равную 
Показать что сечения процесса разнесенные на интервал 
кратный величине 
, не коррелированны
Решение :
сечения не коррелированны.
12.7 Пусть X(t)- стационарный процесс со спектральной плотностью 
( низкочастотный белый шум )
Найти корреляционную функцию данного процесса
Решение:
dω = 
12.8 Спектральная плотность стационарного случайного процесса
| |
при 
(полосовой белый шум )
а) Найти корреляционную функцию 
б) Рассмотреть случай 
Какому случайному процессу соответствует этот предельный случай?
Решение:
б) при 
,
что соответствует гармоническому колебанию на частоте 
12.9 Показать , что не существует никакой стационарной случайной функции X(t), корреляционная функция которой 
постоянна в каком-то интервале 
и равна нулю вне его
Решение :
Предположим противное , что существует случайная функция
X(t) , для которой 
, тогда 
из этого выражения видно , что 
для некоторых значений отрицательна , что противоречит свойствам спектральной плотности , и, следовательно , корреляционной функции указанного выше вида существовать не может .
12.10 Найти средний интервал корреляции и эффективную ширину спектра для стационарного случайного процесса с нормированной корреляционной функцией
Решение :
Изобразим график зависимости
Величина численно равна заштрихованной площади
Найдём спектральную плотность случайной функции
Эта функция достигает своего максимума при ω=0 , при этом
12.11. Функция X(t) - стационарный белый шум с интенсивностью 
. Найти спектральную плотность X(t)
Решение: т.к. интенсивность стационарного белого шума равна 
, то
, где 
-дельта- функция.
12.12. Показать что энергетический спектр случайного стационарного процесса Y(t) с корреляционной функцией 
определяется при положительных частотах 
ширина спектра процесса с корреляционной функцией 
соотношением 
, где 
энергетический спектр стационарного процесса с корреляционной функцией
Решение :
т.к. 
чётная функция и 
12.13. Определить спектральную плотность , если корреляционная функция 
Решение: 
12.14 Найти спектральную плотность телеграфного сигнала, если 
Решение:
12.15 Найти энергетический спектр , эффективную ширину спектра и средний интервал корреляции стационарного марковского гауссовского шума с корреляционной функцией 
Решение : 
Эффективная ширина спектра 
Средний интервал корреляции 
Соотношение неопределенности в данном случае 
 |  | ||
12.16. Случайная функция X(t) имеет математическое ожидание 
и спектральную плотность 
Найти корреляционную функцию случайной функции X(t)
Решение :
В предыдущей задаче было показано , что для корреляционной функции вида 
спектральная плотность имеет вид 
Следовательно , в нашем случае 
значит 
и 
12.17 Определить корреляционную функцию , дисперсию и величину 
стационарного случайного процесса, имеющего спектральную плотность 
Решение :
как и в предыдущей задаче
12.18. Найти спектральную плотность 
случайной функции X(t) , если её корреляционная функция 
Решение:
 | |||||||||||
 |  | ||||||||||
 |  | ||||||||||
 | |||||||||||
-2 2
ω = 
ω = 
ω
при =2, =1 при =2, =3
Вид графика зависит от значений параметров и
12.19. Случайная функция X(t) имеет математическое ожидание 
и спектральную плотность
Найти корреляционную функцию случайной функции X(t)
Решение : В предыдущей задаче было показано , что для корреляционной
функции вида 
спектральная плотность имеет вид :
Следовательно
, следовательно 
, т.е. 
, D 
= 
Таким образом , 
12.20. Найти спектральную плотность случайной функции X(t),если её корреляционная функция 
Решение: 
12.21. Найти спектральную плотность, эффективную ширину и средний интервал корреляции стационарного случайного процесса X(t) с корреляционной функцией 
Решение :
(Интеграл Пуассона 
)
Итак , 
, а 
Исследуем на экстремум
, критическая точка ω=0 знак 
+ - ω=0 -точка max.,
0 ω
 |
213