Функция Грина задач электростатики
Общее решение уравнения Пуассона состоит из общего решения соответствующего однородного уравнения -
и частного решения неоднородного -
На лежит нагрузка удовлетворения граничным условиям,
удовлетворяет однородным граничным условиям:
Рассмотрим . Далее будем писать
без индекса, т.е.
.
Введём некоторый интегральный оператор и
Если , то
- ядро интегрального оператора
, т. е.
- функция Грина.
Пусть - единичный оператор, т.е.
, тогда:
-ядро единичного оператора, это и есть
Итак, на языке ядер выглядит следующим образом:
,
есть функция Грина задач электростатики.
определяется характером граничных условий.
1. - частное решение, удовлетворяющее однородному граничному условию Дирихле.
тогда из того, что
2. - граничное условие Неймана
В обоих случаях и
Для