Основные свойства определителя

Основные свойства определителей

Понятие определителя

Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем или детерминантом n-го порядка этой матрицы. Начнем с определителей второго и третьего порядков.

Пусть дана матрица

А= ,

Тогда ее определитель второго порядка вводится по формуле

det A= = (1.1)

Правило вычисления определителя второго порядка очевидно: из произведения элементов стоящих на главной диагонали вычитается произведение элементов стоящих на второй диагонали матрицы А.

В дальнейшем мы не будем приводить матрицу, для которой вычисляется определитель, так как в записи определителя содержится все элементы соответствующей матрицы.

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

(1.2) Правило вычисления определителя третьего порядка таково. Это алгебраическая сумма шести тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах; со знаком “плюс” берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали; со знаком “минус” – произведения, сомножители которых стоят не на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными этой диагонали (рис. 1).

Порядок определителя равен порядку соответствующей матрицы.

Основные свойства определителя

1. Величина определителя не изменяется, если строки и столбцы этого определителя поменять ролями, т. е.

= .

2. Перестановка двух строк (или двух столбцов) определителя равносильно уменьшению его на число (-1).

3. Если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю.

4. Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя на число равносильно умножению определителя на это число , т. е. общий множитель всех элементов некоторой строки (столбца) определителя можно выносить за знак определителя:

= .

5. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6. Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7. Если каждый элемент n-ой строки (столбца) представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы определителей. Первый из которых имеет в n-ой строке (столбце) первые из упомянутых слагаемых и те же элементы, что и исходный определитель в остальных строках (столбцах), а второй определитель имеет в n-ой строке (столбце) вторые из упомянутых слагаемых и те же элементы, что и исходный определитель, в остальных строках (столбцах):

= + .

8. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится.

= + , =0.

Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, получаемый из данного определителя путем вычеркивания той строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Это число .

Алгебраическим дополнениемлюбого элемента определителя называется число, равное минору этого элемента, взятому со знаком (+), если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, есть число четное и со знаком (-) – в противном случае

(2.3)

; ; .

9. Разложение определителя по строке (столбцу) (Один из способов вычисления определителя) Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (столбца) равна величине этого определителя.

Определитель 3-го порядка разложим по первой строке

= - + ;

Пример 1.1 . Вычислить определитель четвертого порядка

.

Разложить определитель можно по любой строке (столбцу). Однако объем вычислений можно существенно уменьшить, если выбрать такую строку (столбец), в которой больше элементов, равных нулю. Наиболее подходящей в нашем случае является вторая строка. Разложение по ней определителя имеет вид

=

=3(3 +14 + 48 – 126 – 2 - 8) + 2(4 + 24 + 36 - 48 - 9 - 4)= -207.

10. Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) определителя на соответствующее алгебраическое дополнение другой строки (столбца) равна нулю.

11. Произведение двух определителей n-го порядка с элементами есть в свою очередь определитель

n-го порядка с элементами :

.

12. При транспонировании матрицы определитель не меняется.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется определителем? Каковы основные свойства определителя?

2.. Что называется минором и алгебраическим дополнением? Приведите примеры.

3. Каковы способы вычисления определителей? Приведите примеры.