Гидравлическое сопротивление зернистого или пористого слоя при фильтровании

Образующийся на фильтровальной перегородке осадок представляет собой пористый слой, состоящий из, множества сообщающихся между собой пор (каналов) переменного сечения и кривизны. Поскольку частицы осадка обычно мелкие, поры между ними имеют небольшие размеры, поэтому полагают, что движение жидкости в них ламинарное. В простейшем виде можно представить что слой осадка состоит из пор одинакового диаметра и длины, равной высоте слоя осадка.

Зависимость между основными величинами, характеризующими гидравлическое сопротивление зернистого слоя при фильтровании (подобном движению жидкости в трубах и каналах), можно выразить известным из гидравлики уравнением Дарси:

,

где – перепад давлений при фильтровании или гидравлическое сопротивление слоя осадка; – коэффициент сопротивления зернистого слоя; – высота слоя осадка; – плотность жидкости (фильтрата); – эквивалентный диаметр пор осадка; – скорость жидкости в порах.

При ламинарном режиме движения жидкости в порах, когда , коэффициент сопротивления находится по зависимости:

,

где – постоянная величина, равная 133–200.

С учетом значения уравнение примет вид:

.

Обозначив через порозность слоя, выражают скорость движения жидкости в порах через скорость , отнесенную ко всему сечению слоя, соотношением:

,

откуда:

.

Значение пор определяют по формуле:

,

где – площадь сечения пор; – смоченный периметр пор.

Умножив числитель и знаменатель в выражении на , получим:

,

где – объем пор; – площадь их поверхности.

Так как объем пор в единице объема , а их поверхность равна удельной поверхности , то из формулы получают:

.

Эквивалентный диаметр можно выразить также через размер частиц, составляющих слой. Если слой состоит из сферических частиц диаметром , то поверхность одной частицы составит , а ее объем . Тогда число частиц в единице объема слоя равно отношению объема , занятого частицами, к объему одной частицы, т. е.:

,

а поверхность всех частиц:

.

Следовательно, эквивалентный диаметр пор:

.

Для несферических частиц вводят коэффициент формы , равный отношению поверхности шара того же объема, что и частица, к поверхности частицы ( ). Тогда:

.

После подстановки значений и в уравнение и обозначив произведение всех постоянных величин через , получают следующую формулу Кармана:

.

Формула Кармана широко применяется для определения гидравлического сопротивления, возникающего при движении жидкости через зернистый и пористый слой.