Построение ортогональной проекции точки на плоскость

Ортогональная проекция точки на плоскость строится следующим образом:

1).Из точки на плоскость опускают перпендикуляр;

2). Находят точку пересечения перпендикуляра с плоскостью. Эта точка и есть ортогональная проекция точки на плоскость.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В начертательной геометрии в качестве этих пересекающихся прямых выбирают главные линии плоскости - горизонталь и фронталь, так как по теореме о проецировании прямого угла он проецируется на плоскость проекций в натуральную величину, если одна его сторона параллельна этой плоскости.

Так как горизонталь параллельна горизонтальной плоскости проекций, на нее угол между перпендикуляром и горизонталью спроецируется в натуральную величину, и на чертеже угол между горизонтальными проекциями перпендикуляра и горизонтали будет равен 90 градусов.

Аналогично будут расположены на чертеже фронтальные проекции перпендикуляра и фронтали.

Следовательно, решение задачи начинают с проведения в плоскости параллелограмма главных линий: горизонтали и фронтали. Для примера разберем нахождение ортогональной проекции вершины А на плоскость параллелограмма (рис.12).

.

Из вершины треугольника А проводят прямую перпендикулярно плоскости параллелограмма. На чертеже это будет выглядеть так:

1). из горизонтальной проекции точки А проводят проекцию перпендикуляра перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали;

2).из фронтальной проекции точки А проводят проекцию перпендикуляра перпендикулярно

фронтальной проекции фронтали.

После построения перпендикуляра приступают к нахождению точки пересечения перпендикуляра с плоскостью параллелограмма. Эта задача подробно разобрана в задаче №1,как задача по определению точки пересечения прямой с плоскостью.

В результате получают ортогональную проекцию точки А на плоскость параллелограмма.

Повторяя предыдущее решение для вершин В и С, находят ортогональные проекции этих точек на плоскость параллелограмма. Последовательно соединяя ортогональные проекции точек, получают ортогональную проекцию треугольника на плоскость параллелограмма.

Пример решения задачи

Пусть Вас не пугает нагромождение линий. Все эти построения можно провести на отдельных чертежах поочередно для всех трех вершин, а затем их можно объединить в один чертеж. Для проверки решения можно сравнить его с первой задачей. Линия пересечения плоскостей треугольника и параллелограмма, построенная в первой задаче, должна совпасть с линией, соединяющей точки пересечения сторон треугольника ABC и его ортогональной проекции.

Задача№3.

Дана плоскость параллелограмма KLMN.На расстоянии 40 мм от плоскости параллелограмма надо построить плоскость параллельную параллелограмму и по площади в два раза меньшую.

Плоскость по площади в два раза меньше площади параллелограмма – это треугольник, стороны которого равны сторонам параллелограмма, а так как плоскости должны быть параллельны, то стороны треугольника должны быть не только равны, но и параллельны сторонам параллелограмма.

Для решения этой задачи надо сначала найти точку, удаленную от плоскости параллелограмма на расстоянии 40 мм (рис.14).