Порядок переменной, эквивалентность

П р и м е р 1. , , потому что

.

П р и м е р 2.

.

О п р е д е л е н и е . Если для функции можно подобрать числа и , где , такие, что

,

то говорят, что функция есть главный степенной член функции в окрестности точки .

Правые части соотношений (3) – (7) суть, очевидно, главные степенные члены левых частей при .

Будем говорить, что на множестве имеет порядок или еще есть - большое от на и при этом будем писать

на , (14)

если

,

где - не зависящая от положительная константа.

В частности, равенство

на

обозначает тот факт, что ограничена на .

П р и м е р ы:

1) на ;

2) на ;

3) на .

Производная функции. Задачи, приводящие к понятию производной (задача о мгновенной скорости, задача об угле наклона касательной к кривой).

Основные правила дифференцирования. Таблица производных элементарных функций.

Производной от функции называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

, или .

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х, то есть .

Производная есть скорость изменения функции в точке х.

Отыскание производной называется дифференцированием функции.

Основные правила дифференцирования

Пусть , тогда:

Дифференцирование неявных функций

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция задана параметрическими уравнениями ,

тогда , или

Приме:

12. Дифференциал функции. Приближённые вычисления с помощью дифференциала.

I. Дифференциал функции.

Опр. Дифференциал функции называется главная линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной .

1. Понятие дифференциала:

Пусть функция , определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окрестности точки . Тогда существует конечная производная =f’(x).

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами ф-ций можно записать

Где -бесконечно малая величина при , откуда .

Таким образом, приращение ф-ции состоит из двух слагаемых: 1)линейного относительно ;2) нелинейного (представляющего бесконечно малую более высокого прядка, чем , ибо =0).

Орп. Дифференциалом ф-ции называется главная, линейная относительно часть приращения ф-ции, равная произведению производной на приращение независимой переменной .

Дифференциал ф-ции независимой переменой равен приращению этой переменной. Т.к.

Прим. Найти диффрнц. ф-ции . Решение: , откуда .

Поэтому формулу для дифференцирования ф-ции можно записать в виде , откуда еперь мы видим, что не просто символическое обозначение производной , а обычная дробь с числителем и знаменателем .

Т.е. геометрический смысл дифференцируемости f(x) в точке х

₀ состоит в том, что расстояние от точки на ее графике до соответствующей

на касательной стремится к нулю "быстрее", чем ∆х.

Свойства дифференциала.

С-ва дифференц, фактически аналогичны свойствам производной, одним из отличительных свойств явл. с-во инвариантности форм дифференциала(6).