Основные положения теории подобия

Министерство образования и науки Украины

Донбасская государственная машиностроительная академия

Кафедра подъемно-транспортных машин

Н.Ю.Дорохов

Динамика подъемно-транспортных, строительных и дорожных машин

конспект лекций для студентов специальности 7.090214

Краматорск 2007

Основы моделирования динамических процессов ПТМ

Логико-математические модели по отношению к предметно-математическим моделям являются моделями-описаниями, и наоборот, предметно-математические модели можно представить в качестве предметных интерпретаций логико-математических.

Классификация моделей по видам решаемых задач приведена на рис. 1.1.

Рисунок 1.1 - Классификация моделей по видам решаемых задач

Моделирование является методом изучения реального объекта и основано на применении вспомогательного (промежуточного) искусственного или естественного объекта-модели, который: объективно соответствует изучаемому оригиналу; заменяет оригинал на некоторых этапах исследования; дает определенную информацию об изучаемом оригинале.

Всякий правильно поставленный эксперимент предполагает использование модели, Полученные результаты характеризуют не только данное единичное явление в данном единичном опыте, но и другие явления этого класса. Модель выполняет в эксперименте двоякую роль: одновременно является и объектом изучения, так как замещает подлинный объект, и экспериментальным средством, так как она служит средством познания этого объекта.

Для модельного эксперимента характерны следующие основные операции: переход от объекта к модели — построение модели (моделирование в собственном смысле слова); экспериментальное исследование модели; переход от модели к объекту, состоящий в перенесении результатов, полученных при исследовании, на этот объект (рис. 1.2). Важно, что модель входит в эксперимент, замещая не только объект исследования, но и условия, в которых он изучается. При моделировании усиливается роль теоретической стороны исследования. Теория является звеном, связывающим постановку опыта и его результаты с объектом исследования.

Рисунок 1.2 - Схема проведения исследований на модели объекта:

И — исследователь; П — прибор; М — модель объекта;

МУЭ—модель словий эксплуатации; О — натуральный объект;

УЭ — действующие условия эксплуатации объекта

Основные положения теории подобия

Создание и использование средств моделирования рабочих процессов дорожно-строительных машин и их систем— физических, математических и комбинированных моделей — базируется на теории подобия. Положения теории подобия позволяют правильно ставить эксперимент, распространять результаты единичного опыта на другие системы, создавать модели подсистем и систем, выбирать параметры модели так, чтобы получать моделируемые процессы, подобные процессам в системе-оригинале.

Путь научно-технического развития идет от наблюдения и эксперимента к теоретическому мышлению и завершается специально организованным производственным процессом. Методы теории подобия и моделирования позволяют повысить темпы получения соответствующих экспериментальных материалов.

Моделирование заключается в исследовании моделируемого объекта на специально сформированной модели, которая подобна оригиналу, и включает следующие этапы: построение модели; изучение модели; перенос полученных сведений на моделируемый объект.

Научно-методической основой формирования моделей является теория подобия, которая дает возможность установить наличие подобия и позволяет разработать способы его получения.

Подобие объектов заключается во взаимно-однозначном соответствии между двумя объектами, при котором функции перехода от параметров, характеризующих один из объектов, к соответствующим параметрам другого известны, а математические описания этих объектов могут быть преобразованы в тождественные. Подобными являются такие физические системы, у которых подобны вес характеризующие параметры, т. е. все векторные величины геометрически подобны, а все скалярные ввеличины пропорциональны в соответствующих точках пространства и соответствующие моменты времени. Подобие явлений характеризуется пропорциональностью всех величин, определяющих качественную и количественную стороны изучаемого явления. При решении технических задач физическое подобие рассматривают как совокупность подобия частных характеристик явления.

Рисунок 1.3 - Примеры геометрического (а) и кинематического (б)

Подобия объектов дорожно-строительной техники

Геометрическое подобие выражается равенством всех соответственных углов и пропорциональностью всех линейных размеров l (рис. 1.3, а):

Кинематическое подобие системы определяется тождественностью направления и пропорциональностью величин времени, действующих скоростей и ускорений (рис. 1.3, б):

Динамическое подобие системы определяется тождественностью направления действия и пропорциональностью вектора сил G пли напряжений (рис. 1.4, а):

Рисунок 1.4 - Примеры динамического (а) и термического (б)

дорожно-строительной техники

Температурное подобие и подобие тепловых потоков (рис. 1.4, б) определяется соответственным геометрическим подобием температурных полей и пропорциональностью всех температур:

При моделировании физических явлений масштабы и другие называют масштабами модели.

В соответствии со свойствами пропорции из соотношения

следует правило замещения: из которого ясно, что при установлении физического подобия явлений вместо производных (и подынтегральных выражений) от характерных величин можно рассматривать соответствующие соотношения их конечных значений, которые называются интегральными аналогами. Последнее следует из положения, что предел постоянной величины равняется самой величине.

Методы установления подобия явлений и процессов, протекающих при взаимодействии рабочего оборудования дорожно-строительных машин с обрабатываемой средой и, в частности, при механическом разрушении грунтов рабочими органами землеройно-транспортных машин, так же как и при изучении явлений и процессов другой физической природы, базируются на трех основных теоремах подобия и дополнительных положениях.

Первая теорема подобия рассматривает условия, следующие из подобия явлений, и формулируется следующим образом: подобные объекты (явления, процессы, системы, знаковые образования и др.) имеют индикаторы подобия, равные единице, и численно одинаковые критерии подобия.Для подобных объектов (рис. 5), один из которых является оригиналом, а другой моделью, описывающихся уравнениями

между отношениями масштабов, называемыми индикаторами подобия,выполняются равенства:

а отношение соответствующих членов уравнения является инвариантным и не зависящим от масштаба параметров

Действительно, так как явления подобны, то должно иметь место равенство уравнений

где — масштабы (коэффициенты) величин; Р — параметры, характеризующие систему, например имеющие природу сил, действующих на систему.

Для соблюдения неизменности по отношению к подобным преобразованиям членов уравнения необходимо, чтобы коэффициенты уравнения k_Pi, kp₂ и kp₉ были равны друг другу. Так как kp_t, k_Pz и k_Pi являются масштабами величин, то их равенство соблюдается в случае, если отношения

будут оставаться неизменными для подобных преобразований. Соответствующие отношения размерных величин, которые остаются неизменными при подобных преобразованиях, являются критериями (инвариантами) подобия и обозначаются π или П. Аргументы трансцендентных функций являются критериями подобия.

Рисунок 1.5 - Схема динамических систем, иллюстрирующая основные

положения теории подобия.(а – оригинал — моделируемая система;

б — модель — моделирующая система; P1, P2, P3 — действующие силы

М – масса; С — приведенная жесткость)

Определение параметров оригинала на основании формул подобия. Следствием рассмотренного положения является получение соотношений, позволяющих определить параметры объекта по известным параметрам модели. Если имеют место

где — коэффициенты, определяемые на основании объекта, принятого за модель.

Свойства критериев подобия. Исходные уравнения являются гомогенными, так как все их члены имеют одинаковую размерность. Полученные критерии подобия являются безразмерными образованиями. Они определяют среднюю меру отношений между физическими эффектами, существенными для данного процесса.

Критерии можно преобразовывать в критерии другой формы и получать новые критерии путем операций деления и перемножения, полученных первоначально, а также умножением или делением их на постоянную безразмерную величину. Однако общее количество критериев при этом должно оставаться без изменения. Так, если то и . Аналогично , где k – постоянная безразмерная величина.

Вторая теорема подобия (π-теорема) дает возможность замены уравнения между физическими величинами зависимостью между критериями подобия и формулируется так: всякое уравнение физического процесса, объединяющее между собой п величин, x₁ = f(x₂, х₃, ... х_л), среди которых т величин обладают независимыми размерностями, можно преобразовать к критериальному уравнению; которое связывает п — т критериев подобия:

где П_1,2,3 — безразмерные величины, составленные по определенному закону из п величин (переменных и параметров), влияющих на ход процесса; m — число физических величин, имеющих независимые. размерности (число основных единиц измерения должно быть больше или равно т).

Вторая теорема подобия определяет необходимое и достаточное число критериев подобия к, определяющих процесс: к — п — т. Теорема позволяет заменить переменные, сократив их число с п размерных величин до п — т безразмерных величин. Это упрощает обработку экспериментов при отыскании аналитической зависимости виде регрессионного полинома, полученного в критериальной форме.

Принято называть комплексы П₂, П₃, П_n-m определяющими критериями подобия.Такие безразмерные комплексы содержат независимые переменные величины и величины, входящие в условия однозначности. Определяемыми критериями подобия называют комплексы П₁, которые содержат зависимую переменную как искомую величину.

Существенное значение π-теоремы заключается в возможности распространения результатов экспериментального или аналитического исследования по изучению конкретного явления на ряд подобных явлений. При этом важно иметь в виду ограничения на пределы существенности и постоянства критериев подобия, определяющих протекание исследуемого явления при формировании такого заключения. Важным фактором, который следует из π-теоремы, является возможность нахождения критериального уравнения, не имея математической модели процесса, основываясь только на анализе известных величин, определяющих процесс, и их размерности.

Третья теорема подобия. Необходимым и достаточным условием подобия двух объектов (явлений, процессов, систем и др.) является пропорциональность сходственных параметров, входящих в условия однозначности, и равенство определяющих критериев подобия.

Под условиями однозначности понимают геометрическую характеристику пространственной области (при соблюдении геометрического подобия), значения физических постоянных, начальные и граничные условия.

Действительно, если для систем, приведенных на рис. 1.5, имеют место равенства критериев подобия: и то или что указывает на подобие рассматриваемых объектов.

Из условий однозначности при t=0, P=P₀, v=v₀, t=t₁, P=P₁, v=v₁ следуют критерии-симплексы P₀/P=idem, v₀/v=idem

Для создания модели, в которой процесс протекал бы подобно процессу в оригинале, необходимо: 1) выбрать параметры модели из условий теории подобия и обеспечить тождественность уравнений натуры и модели, что достигается при равенстве определяющих критериев подобия; 2) добавить к определяющим критериям подобия подобные для натуры и модели граничные и начальные условия. Переход от параметров, установленных в процессе моделирования, к параметрам оригинала в порядке прогнозирования поведения ори­гинала осуществляют простым пересчетом но формулам:

Для подобия явлений необходимо, чтобы они описывались одинаковыми математическими зависимостями. Однако это условие не является достаточным. При различных соотношениях численных коэффициентов и разных краевых условиях результаты решения одного и того же уравнения оказываются неодинаковыми. Условия однозначности должны быть аналогичными в модели и оригинале. Отличаться они могут лишь численными значениями величин.

Определение критериев подобия. Безразмерные соотношения, постоянство которых для рассматриваемого явления или процесса является признаком их подобия и которые называются критериями подобия, могут быть установлены несколькими способами. Применительно к установлению подобия явлений и процессов, протекающих при взаимодействии рабочего оборудования дорожно-строительных машин с рабочей средой и, в частности, рабочих органов землеройно-транспортных машин с грунтом, следует отметить два наиболее распространенных метода получения критериев подобия: па основании анализа размерностей величин, определяющих протекание процесса; на основании анализа системы дифференциальных уравнений, описывающей процесс, и условий однозначности, определяющих механизм взаимодействия рабочего оборудования со средой.

Второй способ получения критериев подобия заключается в приведении уравнений, описывающих процесс механического разрушения грунта, к безразмерному виду. Анализ системы дифференциальных уравнений дает возможность использовать для вывода критериев подобия один из трех способов, получивших наибольшее распространение: подобных преобразований; интегральных аналогов; приведения уравнений к безразмерному виду.

Анализ размерностей позволяет отыскать критерии подобия, основываясь на общих законах, на которых построена система единиц измерения величин. Преимущество заключается в возможности получения критериев подобия без знания математической зависимости между физическими величинами изучаемого процесса. Однако в ряде случаев такой метод может привести к ошибочным результатам, если неправильно определено число и вид величин, характеризующих процесс. При математическом моделировании применяют метод анализа уравнений, так как в этом случае уравнения известны. При физическом моделировании можно использовать оба метода.

Допустим, что для систем, изображенных на рис. 1.5, значения слагаемых уравнения определяются следующим образом:

Общее количество физических величин, характеризующих процессы, протекающие в системах, равно пяти: М — масса; с—жесткость; х - - линейный размер; l — время; W - сопротивление.

Для рассматриваемой системы число независимых единиц измерения равно трем (например, для величин Р, l, t, т — 3). Применяй π-теорему, находят число критериев k — п — т — 5 — 3 — 2. Так как размерности всех п физических величин известны, то, составив из них два (так как п — т. — 2) безразмерных комплекса, получают критерии подобия без написания функциональной зависимости. Критермальное уравнение имеет вид П₁= φ(П₂).

Порядок составления безразмерных комплексов критериев подобия методом анализа размерностей [1] следующий: 1) составляют перечень параметров, определяющих процесс (М, с, I, U W и т. д.); 2) устанавливают формулы размерностей каждого из параметров; 3) заменяют в формулах основные единицы измерения соответствующими физическими величинами: М=Wt²/l, с=Wl и т.д.; 4) делят соответствующую величину на полученные выражения и получают искомые критерии подобия: П₁₌ Ml/(Wt²/l); П₂= cl/W т. д.; 5) составляют критериальное уравнение: П₁= φ(П₂).

Анализ уравнений позволяет получить критерии подобия на основании положения, что у подобных явлений описывающие их уравнения тождественно равны. Полагая, что для систем, приведенных на рис. 1.5, справедливы уравнения получаем для каждой системы:

Так как процессы в оригинале и модели подобны, то отношения всех характеризующих их величин должны выражаться с помощью масштабов подобия:

Введя выражение k_w, k_t в уравнение для модели и разделив все члены уравнения на k_w, kW_M: получают уравнение в безразмерной форме записи:

Тождественность полученных уравнений следует из равенства индикаторов подобия единице.

Из совместного анализа выражений получают:

Метод интегральных аналогов заключается в следующем:

1) уравнение приводят к безразмерному виду делением всех членов на один из них.

2) опускают знаки дифференцирования и интегрирования, а знаки соотношения между членами заменяют на знаки пропорциональности.

3) полученные безразмерные комплексы, составленные из пере­менных величин и параметров, являются критериями подобия.

4) для лучшего выявления физического смысла критериев делят и умножают некоторые из них друг на друга или па одну иту же величину.

5) записывают один из критериев как функцию п — т критериев, получая критериальное уравнение.

Пример:

Основным исследуемым параметром является вертикальная деформация кранового моста , которая зависит от ряда параметров, основными из которых являются:

- приведенная масса металлоконструкции кранового моста;

- масса крановой тележки;

- жесткость металлоконструкции кранового моста;

- жесткость каната;

- коэффициент демпфирования металлоконструкции кранового моста;

- коэффициент демпфирования каната;

- изменение координаты каната привода механизма подъема груза.

В связи с этим можно записать:

.

Определение критериев подобия выполнено методом интегральных аналогов.

Как известно, одним из способов описания процесса подъема груза есть использование дифференциальных уравнений второго порядка:

.

Приведем уравнение к безразмерному виду делением на одно из составляющих ( ):

.

Опуская знаки дифференцирования, и заменяя знаки соотношения между составляющими на знаки пропорциональности, после соответствующих арифметических преобразований получим

~ ~ ~ ~ 1.

Полученные безразмерные комплексы, составленные из переменных величин и параметров, являются критериями подобия:

; ; ; .

Согласно третьей теореме подобия, необходимым и достаточным условием подобия двух объектов есть равенство определяющих критериев подобия:

; ; ; .