Байесовский критерий обнаружения сигнала
Классическая теория обнаружения сигналов в качестве критерия оптимальности использует старинное изобретение английского священника и математика Томаса Байеса – критерий минимума среднего риска, изложенный им в "Эссе о решении проблем в теории случайных событий".
Будем считать, что a priori известны:
1. условные совместные плотности распределения шума и аддитивной смеси сигнала и шума
,
2. вероятности отсутствия сигнала в наблюдаемой реализации сигнала
и наличия в ней сигнала
,
3. платежная матрица с элементами
- расходы на принятие правильные решения и
- плата за ошибки первого и второго рода.
С учетом выражений для вероятностей принятия верных решений и вероятностей ошибок среднее значение потерь, то есть средний риск, связанный с принятием решения, составляет:
.
Подставляя сюда выражения для вероятностей ошибок первого и второго рода, а также выражения для оперативной характеристики и функции мощности, после некоторых преобразований получаем следующую зависимость:
Отсюда видно, что критическую область нужно выбирать таким образом, чтобы подынтегральное выражение было хотя бы неотрицательным:
Функция после подстановки в неё вместо вектора
наблюденных данных
называется отношением правдоподобия
. Отношение правдоподобия преобразует комплекс экспериментальных данных
в некоторое число, на основании которого и принимается решение по поводу обнаружения или отсутствия сигнала на фоне помех.
Оптимальная по критерию минимума среднего риска решающая функция имеет, поэтому, следующий вид:
где
пороговая константа.
Решение о присутствии сигнала в наблюдаемой выборке принимается, если отношение правдоподобия для этой выборки оказывается не меньшим, чем пороговая константа. Пороговая константа разбивает n-мерное пространство всех возможных выборок на две непересекающихся области
и
,
, такие, что в критической области
выполняется условие
, а в допустимой области
имеет место
.
В задаче обнаружения сигнала синусоидальной формы с вектором параметров сигнала на фоне независимой от сигнала нормально распределенной помехи типа белого шума с одноместным вектором параметров
при полученной путем дискретизации наблюдаемой реализации сигнала z(t) выборке
отношение правдоподобия принимает следующий вид:
Часто, особенно при экспоненциальных функциях распределения, пользуются логарифмической функцией правдоподобия , которая получается логарифмированием отношения правдоподобия. В рассматриваемом случае логарифмическая функция правдоподобия имеет вид, особенно удобный для практических расчетов:
с пороговой константой, равной .
Недостаточность априорной информации в реальных ситуациях и возможность появления аномально больших искажений при наблюдении за сигналом требует построения более сложных алгоритмов обнаружения сигналов. Поиск таких алгоритмов и является задачей теории обнаружения и различения сигнала.