Определение суммарной жесткости системы

Суммарная жесткость системы складывается из приведенных жесткостей её элементов и зависит от характера их соединения (рис. 13).

Рис. 13. Схемы соединения жесткостей элементов системы:

а – параллельное; б – последовательное;

в – смешанное (параллельно-последовательное)

При параллельном соединении (рис. 13а)

(46)

При последовательном соединении (рис. 13б)

(47)

При смешанном соединении (рис. 13в)

, (48)

или

. (49)

Собственная частота колебаний системы

Простейшая динамическая система, состоящая из массы m и упругой связи c, показана на рис. 14.

Если в начальный момент времени отклонить массу на величину а и предоставить систему самой себе, то возникнут колебания, причем смещение центра тяжести массы (ЦТ) в момент времени t , будет

, (50)

где – круговая частота колебаний, 1/с

.

Таким образом, если в системе возбуждены колебания (импульс силы или возмущающая периодическая сила), то после снятия возмущающей силы система будет совершать свободные колебания, частота которых зависит только от параметров системы (c и m) и не зависит от величины возмущающей силы. Такие колебания называются свободными или собственными.

Если обозначить период колебаний через T, то из равенства (50) вытекает

, (51)

откуда

. (52)

Если к системе приложена внешняя периодическая сила (рис. 15)

, (53)

то возникают вынужденные колебания с частотой этой внешней силы.

Частное решение уравнения движения

, (54)

или

, (55)

где – сила инерции;

– сила упругости звена с,

будем искать в виде

. (56)

Подставляя зависимость (56) в равенство (55), находим

, (57)

т.е.

. (58)

После снятия возмущающей силы ( ) имеем

. (59)

Для двухмассовой системы

. (60)

Для системы с вращающимися массами:

одна масса –

, (61)

две массы –

. (62)

Системы делятся на высокочастотные и низкочастотные.

К высокочастотным относятся такие системы, собственные колебания которых имеют период Т в несколько раз меньший, чем время изменения внешней силы (технологическое сопротивление). К ним относится подавляющее большинство металлургических машин. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать задачи этого класса.

Определение величины и характера изменения внешних нагрузок

Силы (моменты), действующие на машину, можно разделить на группы:

- движущие (привод);

- технологические;

- вредные сопротивления (трение и т.п.).

Движущие силы

В качестве привода может использоваться:

- гидропривод (гидроцилиндры, гидроприводы вращения);

- пневмопривод;

- электропривод (электродвигатели постоянного и переменного тока).

и другие (двигатели внутреннего сгорания, газовые и т.п.).

Многочисленные типы электродвигателей обладают различными внешними (рабочими и пусковыми) характеристиками. В зависимости от требований, предъявляемых к различным машинам, применяется тот или иной тип двигателей.

Для высокочастотных систем с некоторым приближением можно принять, что движущая сила остается постоянной.

Технологические нагрузки

Выполняемые металлургическими машинами операции весьма разнообразны (прокатка, резка металла, кантовка заготовок, подъемно-транспортные операции, кантовка сосудов с жидким металлом и т.д.). В связи с этим весьма разнообразны и характеры изменения нагрузок, а также математические зависимости их описывающие. Использование таких зависимостей при решении задач динамики систем практически невозможно из‑за их сложности, громоздкости и возникающих непреодолимых математических трудностей. В связи с этим, при решении практических задач принимаются формализованные модели характера нагружения, которые достаточно близки к реальным. Рассмотрим ряд таких моделей.

1) Технологическая нагрузка прикладывается мгновенно и далее остается постоянной во времени.

Примером такого случая нагружения является подъем груза лебедкой, краном и т.п.

2) Технологическая нагрузка изменяется в функции времени

При линейной зависимости момента от времени, его текущее значение равно

,

а при использовании экспоненциального закона (б)

,

где e – основание натурального логарифма;

A – показатель экспоненты, определяющий интенсивность нарастания технологической нагрузки.

3) Технологическая нагрузка изменяется в функции угла поворота

Законы изменения M аналогичны варианту 2).

4) Технологическая нагрузка изменяется периодически по гармоническому закону, например,

.

5) Импульсное (ударное) приложение технологической нагрузки.