Понятие о фазовой плоскости

Обычное описание движения системы с одной степенью свободы в виде зависимости координаты от времени x=x(t) не является единственно возможным. В ряде случаев, особенно при изучении нелинейных механических колебаний, определенными достоинствами обладает представление движения на фазовой плоскости.

Состояние системы в любой фиксированный момент времени t определяется парой соответствующих значений x и и может быть представлено изображающей (фазовой) точкой в плоской декартовой системе координат x, v, если откладывать по оси абсцисс координату x, а по оси ординат – скорость v. Такая плоскость называется фазовой.

В процессе движения рассматриваемой системы величины x и v изменяются и, соответственно, меняется положение изображающей точки на фазовой плоскости. Геометрическое место изображающих точек для данного движения называется фазовой траекторией.

Для построения фазовой траектории при заданном законе движения x=x(t) нужно путем дифференцирования образовать выражение скорости v=x(t), а затем исключить время из двух уравнений: x=x(t), .

Функция v=v(x) и описывает фазовую траекторию данного движения.

Фазовая плоскость особенно удобна для представления колебательных процессов, когда координата и скорость не выходят за известные пределы; поэтому вся картина движения даже в течение неограниченного времени занимает ограниченную часть фазовой плоскости.

Совокупность фазовых траекторий, которая описывает все возможные движения данной системы, называется фазовой диаграммой (фазовым портретом) данной системы.

Для свободных гармонических колебаний , а . Исключая из этих выражений время t получаем

Это уравнение эллипса (рис.11). Его полуоси зависят от амплитуды и круговой частоты.

Рис.11

Свободные колебания в поле постоянной силы.

На материальную точку кроме упругой силы, действует сила постоянная по величине и направлению.

Рис.12

Обозначим ее F_ст (рис.12), тогда дифференциальное уравнение движения точки примет вид:

Начальные условия имеют вид:

при t=0:

Это неоднородное дифференциальное уравнение. Его решение складывается из решения однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного дифференциального уравнения

Решение имеет вид:

,

,

Если начало отсчета координаты сдвинуть на (рис.13), тогда в новой системе отсчета решение будет иметь вид:

- амплитуда колебаний;

Рис.13

Параллельное включение упругих элементов.

Масса закреплена с помощью двух упругих элементов расположенных параллельно (рис.14).

Рис.14

Сместим массу на расстояние x.

.

Результирующая жесткость упругих элементов расположенных параллельно равна сумме жесткостей этих элементов.