Калибровки

Уравнения Максвелла. Потенциалы

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме:

или

(1)

Теорема Гаусса в операторной форме:

Теорема Стокса в операторной форме (рис.1):

где

Потенциалы электромагнитного

поля:

(2)

где

Подставим соотношения (2) в уравнения Максвелла (1):

(3)

это уравнение превращается в тождество, так как

так как получим тождество

Раскрыв двойное векторное произведение, получим:

(4)

Градиентная инвариантность

Если заданы потенциалы А и , то этим вполне однозначно за­даются Е и Н, а значит, и поле. Однако одному полю могут соответ­ствовать разные потенциалы [2, § 18]:

(5)

При таком переходе

и

Таким образом, физический смысл имеют лишь те величины, которые инвариантны по отношению к преобразованию потенциалов (5). Поэтому все уравнения должны быть инвариантны относительно этого преобразова­ния. Эту инвариантность называют градиентной (калибровочной).

Калибровки

Калибровками называются дополнительные ограничения, которые накладываются на потенциалы А и , чтобы уравнения для потенциа­лов в конкретном случае были удобны для решения.

1. Калибровка Лоренца:

(6)

С учетом градиентной инвариантности (5) из (6) получим:

Отсюда следует условие, ограничивающее вид в градиентном преоб­разовании: , где □ - оператор Даламбера,

(7)

Из уравнения Максвелла в формуле (3) с учетом уравнения (6) получим:

(8)

Для получим:

Подставим в (5)

(9)

2. Калибровка Кулона:

Условие на f:

3. Калибровка поперечных волн: