Лінійні операції з векторами

Сумою векторів називається вектор , який замикає ламану, побудовану з даних векторів і проведений від початку вектора в кінець вектора , за умови, що початок вектора прикладений до кінця вектора , а початок вектора прикладений до кінця вектора .

Якщо вектори задані своїми проекціями , , то їх алгебраїчна сума дорівнює алгебраїчній сумі відповідних координат:

. (1.13)

добутком вектора на число k називається новий вектор, проекції якого є добуток числа k на відповідну координату:

,

модуль якого , а напрямок якого співпадає з , якщо k>0 або протилежний, якщо k<0.

Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком двох векторів називається число, що дорівнює добутку модулів цих векторів та косинуса кута між ними:

. (1.14)

Скалярний добуток двох векторів це також добуток модуля одного з векторів на проекцію другого вектора на перший вектор:

. (1.15)

Властивості скалярного добутку:

1. .

2. .

3. Якщо , тоді . Отже :

. (1.16)

Якщо вектори задані координатами то

. (1.17)

Приклад 1.15. Знайти скалярний добуток вектора , та вектора, що виходить від точки B(1;0;1) до точки C(-2;1;0).

Розв’язання:

Скалярний добуток векторів обчислюється за формулою (1.17)

де .

Підставивши й у зазначену формулу, одержимо

.

Кут між векторами:

. (1.18)

Умови перпендикулярності векторів:

. (1.19)

Приклад 1.16.Визначити координати вектора , колінеарного вектору , знаючи, що і він спрямований у тому ж напрямку, що і вектор .

Розв’язання.

Якщо вектори , тоді виконується співвідношення (1.12). Підставивши координати вектора , одержимо

або

, , .

Тоді

;

;

.

Так як вектори і спрямовані в одну сторону, тоді .

Отже,

.

Приклад 1.17. Знайти , якщо , .

Розв’язання:

Для розв’язування цієї задачі варто скористатися формулою:

.

Знайдемо і , пам'ятаючи, що , , .

,

.

Тоді

.

Приклад 1.18. Задано вектори: (0,1; 0,5; 2,7), =(1,4; 8,4; 9,1), =(5,6; 2,8; 5,1), = (8,5; 8,2; 9,3).

Знайти: вектори

1. = 6,2 ;

2. ;

3. довжину вектора ;

4. скалярний добуток векторів ;

5. кут між векторами та ;

6. знайти проекцію вектора на вектор .

Розв’язання.

1. Вектор =6,2 =(0,62; 3,1; 16,74).

2. Вектор =(1,4-5,6; 8,4-2,8; 9,1-5,1)=(-4,2; 5,6; 4,0).

3. Довжина вектора = .

4. Скалярний добуток векторів

;

5. Кут між векторами та :

.

6. Проекція вектора на вектор :

.

Лекція 4. Аналітична геометрія на площині

Довжина відрізка та ділення відрізка у даному відношенні.

Відстань між точками. Відстань між двома точками та дорівнює кореню квадратному із суми квадратів різниць однойменних координат цих точок:

(1.20)

приклад 1.19. Задані точки А(8,0; 2,5) та В(8,9; 2,1). Знайти відстань між двома точками А та В.

Розв’язання.

Підставивши координати точок у формулу (1.20), маємо:

Ділення відрізка в заданому відношенню

Розглянемо відрізок АВ, заданий координатами точок та . Точка поділяє відрізок АВ у відношенні: (рис 1.1).

Рис. 1.1.

координати точки С х та у визначаються формулами:

(1.21)

Коли , тобто точка С поділяє відрізок АВ пополам, то формули приймають вигляд:

(1.22)

приклад 1.20. Знайти координати точки С, яка поділяє відрізок АВ пополам.

Розв’язання. Координати точки С визначаємо за формулами (1.22)

4.2. Рівняння прямої

Рівняння прямої в прямокутній системі координат є рівняння першого степеня відносно змінних х та у. Рівняння прямої на площині задається в одному з таких видів.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом та заданим відрізком на осіОY:

(1.23)

де k – кутовий коефіцієнт прямої. Він характеризує напрямок прямої та дорівнює тангенсу кута нахилу прямої від додатного напрямку осі ОХ;

b –ордината точки перетину прямої з віссю ОY.

Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки :

. (1.24)

Приклад 1.21. Трикутник заданий своїми вершинами А (8,0; 2,5), В(8,9; 2,1), С(2,4; 4,3). Знайти рівняння сторін АС та ВС.

Розв’язання.Рівняння сторін АС та ВС знаходимо, як рівняння прямих, які проходить через дві задані точки (1.24).

Рівняння сторони АС:

Підставляємо координати та отримаємо: або

.

Відповідно рівняння сторони Вс: або

; .

Рівняння прямої, яка проходить через задану точку в заданому напрямі:

(1.25)

де k – кутовий коефіцієнт прямої

Рівняння прямої у відрізках на осях:

(1.26)

де a – величина відрізку, що відтинає пряма на осі ОХ.,

b – величина відрізку, що відтинає пряма на осі ОY.

Загальне рівняння прямої:

. (1.27)

Нормальне рівняння прямої:

(1.28)

де p – довжина перпендикуляру з початку координат на пряму,

– кут між додатним напрямком осі ОХ та перпендикуляром .

Будь-яке рівняння прямої виду можна привести до нормального виду, для чого його треба помножити на нормуючий множник: Нормуючий множник повинен мати знак, протилежний знаку вільного члена С даного рівняння.

Відстань від точкидо прямої заданої нормальним рівнянням дорівнює:

(1.29)

Якщо пряма задана загальним рівнянням (1.29), то відстань від точки до прямої дорівнює:

. (1.30)

Приклад 1.22. Для трикутника АВС, заданого своїми вершинами А (8,0; 2,5), В(8,9; 2,1), С(2,4; 4,3),знайти довжину перпендикуляру BF.

Розв’язання. Знайдемо довжину перпендикуляру BF як відстань між точкою В та стороною АС.

Приводимо рівняння сторони АС до загального виду

, , .

Знаходимо довжину перпендикуляру BF за формулою (1.30):

Кут між прямими.

Кутом між прямими. і називається кут, на який треба повернути навколо точки їх перетину проти ходу годинникової стрілки до співпадання її з . Для прямих, які задані рівнянням з кутовим коефіцієнтом та , кут між ними визначається за формулою:

(1.31)

Для паралельних прямих:

. (1.32)

Для перпендикулярних прямих:

(1.33)

Приклад 1.23. Знайти кут між сторонами АС та ВС трикутника АВС, заданого своїми вершинами А (8,0; 2,5), В(8,9; 2,1), С(2,4; 4,3).

Розв’язання . Приводимо загальне рівняння сторони АС до виду рівняння з кутовим коефіцієнтом (1.23). , , для рівняння сторони АС кутовий коефіцієнт .

Приводимо загальне рівняння сторони ВС до виду рівняння з кутовим коефіцієнтом

, , .

Для рівняння сторони ВС кутовий коефіцієнт .

Для визначення кута між сторонами АС та ВС трикутника АВС застосовуємо формулу (1.31):

, .

Приклад 1.24. Знайти рівняння висоти BF трикутника АВС, заданого своїми вершинами А(8,0; 2,5), В(8,9; 2,1), С(2,4; 4,3).

Розв’язання. Висота BF трикутника АВС перпендикулярна до сторони АС, та проходить через точку В. Це відповідає рівнянню прямої, яка проходить через задану точку в заданому напрямі З умов перпендикулярності двох прямих (1.35) знаходимо кутовий коефіцієнт прямої BF. Кутовий коефіцієнт АС . Кутовий коефіцієнт прямої BF

Рівняння висоти BF трикутника АВС :

Приклад 1.25. Знайти точку перетину медіани АD та висоти BF трикутника АВС, заданого своїми вершинами А(8,0; 2,5), В(8,9; 2,1), С(2,4; 4,3).

Розв’язання. Точка , точка перетину медіани АD та висоти BF трикутника АВС, знаходиться як розв’язання системи рівнянь прямих: медіани АD та висоти BF. Рівняння висоти BF трикутника АВС

знаходимо координати точки D за формулами (1.22):

Рівняння медіани АD находимо як рівняння прямої, яка проходить через дві точки А та D

; ,

або

Знаходимо точку перетину медіани АD та висоти BF трикутника АВС:

;

.

Розв’язуємо систему рівнянь за формулами Крамера.

Визначник системи рівнянь .

Визначник .

.

Визначник .

.

Відповідь: точка перетину медіани АD та висоти BF трикутника АВС– точка .

Криві другого порядку

Колом називається множина точок площини, рівновіддалених від однієї точки , яка називається центром. Канонічне рівняння кола має вигляд

або , (1.34)

коли центр кола співпадає з початком координат. – радіус кола (рис. 1.2).

Рис. 1.2   Еліпсом називається множина всіх точок площини, сума відстаней від яких до двох фіксованих точок, які називаються фокусами, є величина стала (рис. 1.3). Канонічне рівняння еліпса має вигляд   Рис. 3   , де . (1.35) Величини і – півосі еліпса, а фокуси мають такі координати: . Відношення характеризує форму еліпса і називається його ексцентриситетом

Рис. 1.3

Гіперболою називається множина всіх точок площини, для яких модуль різниці відстаней кожної з них до двох фіксованих точок площини, які називаються фокусами, є величина стала (рис. 1.4). Канонічне рівняння гіперболи має вигляд

де . (1.36)

Рис. 1.4

Прямі лінії називаються асимптотами гіперболи. Гілки гіперболи наближаються до даних асимптот.

Параболою називається множина всіх точок площини, рівновіддалених від однієї точки , яка називається фокусом, і даної прямої, яка називається директрисою (рис. 1.5). Канонічне рівняння параболи має вигляд

(1.37)

де величина називається параметром параболи.

Рис. 1.5

Зауваження. Якщо фокальна вісь параболи буде співпадати з віссю , то рівняння параболи має вигляд

. (1.38)

Рис. 4

Приклад 1.26 1) Знайти координати центра і величину радіуса кола .

2) Довести, що рівняння є рівняння кола.

Розв’язання. 1) Запишемо рівняння кола у канонічному вигляді (1.34), виділяючи повні квадрати відносно кожної змінної величини. Одержимо

.

Центр кола лежить в точці , а радіус .

2) Згрупуємо змінні так, щоб виділити повні квадрати сум або різниць відповідних змінних:

;

;

;

.

З останнього рівняння видно, що це коло, яке має центр у точці С(-3; 1), та радіус .

Приклад 1.27. Скласти рівняння еліпсу, якщо мала піввісь дорівнює 6, а ексцентриситет 0,8.

Розв’язання. За умовою . З формули (1.35) . За формулою (1.37) .

Рівняння еліпсу буде .

Приклад 1.28. 1) Для гіперболи знайти величини півосей, координати фокусів, ексцентриситет та написати рівняння її асимптот. 2) Скласти рівняння гіперболи, якщо рівняння асимптот: , а відстань між фокусами – 20.

Розв’язання. 1) Якщо поділимо почленно рівняння гіперболи на , то одержимо канонічне рівняння вигляду (1.36):

, де .

Значення знайдемо з рівняння . Тут .

Фокуси мають координати: і , а ексцентриситет .

Рівняння асимптот відповідно є .

2) Порівнюючи рівняння асимптот з заданими рівнянням, знаходимо

Крім того, , а с =10.

Тоді

Складаємо систему рівнянь:

Розв’язуємо систему рівнянь:

,

,

.

Рівняння гіперболи: