Потенциал точечного стока и источника на плоскости. Принцип суперпозиции

Назовем точечным стоком на плоскости точку, поглощающую жидкость. Сток можно рассматривать как гидродинамически совершенную эксплуатационную скважину бесконечно малого радиуса в пласте единичной толщины. Точечный источник - это точка, выделяющая жидкость (аналог нагнетательной скважины). Заменяя источники и стоки скважинами конечного диаметра, мы практически не допускаем никакой ошибки, поэтому будем в дальнейшем отождествлять скважины с источниками и стоками.

При работе в бесконечном пласте одной скважины-стока фильтрация будет плоскорадиальной и давление в точке на расстоянии r от центра скважины определяется по формуле

(5.32)

где q=Q / h -дебит скважины-стока, приходящийся на единицу мощности пласта; С - постоянная интегрирования.

Назовем потенциалом скорости фильтрации Ф выражение Ф=kp / u. Переходя от давления к потенциалу, получим значение потенциала в точке на расстоянии r от центра скважины

(5.33)

Дебиту источника (нагнетательной скважины) приписывается знак минус.

При совместной работе в пласте нескольких скважин результирующий потенциал в любой точке пласта М равен алгебраической сумме потенциалов Ф, Ф2,..., обусловленных работой каждой отдельной скважины.

(5.34)

Скорости фильтрации при этом складываются геометрически

(рис.5.4,а, б). Это называется принципом суперпозиции, или сложения течений.

Используя принцип суперпозиции, можно приближенно рассчитывать дебиты или забойные потенциалы (а следовательно, и забойные давления) для группы скважин, работающих в пласте с весьма удаленным контуром питания. Потенциал Ф_к на контуре питания считается известным, а расстояние от контура питания до всех скважин - одно и то же и приблизительно равно rk.

Помещая мысленно точку М последовательно на забой каждой скважины, где Ф_м = Ф_сг, получим из общего уравнения (5.34) систему n уравнений (n - число скважин). Постоянная интегрирования находится из условия на контуре питания. Окончательно система уравнений для определения дебитов или забойных потенциалов примет вид

(5.35)

здесь rij- расстояние между центрами i-й и j-й скважин.

Принцип суперпозиции можно использовать, если скважины работают в пласте, ограниченном контуром питания той или иной формы, или непроницаемыми границами (линии выклинивания, сбросы), но для выполнения тех или иных условий на границах приходится вводить фиктивные скважины за пределами пласта, которые создают в совокупности с реальными скважинами необходимые условия на границах.

При этом задача сводится к рассмотрению одновременной работы реальных и фиктивных скважин в неограниченном пласте. Этот метод называется методом отображения источников и сто ко и (методом конформного отображения). Он широко применяется не только в подземной гидравлике и гидродинамике, но и при решении задач теории электричества, магнетизма и электропроводности,

Так, если эксплуатационная скважина находится в пласте с прямолинейным контуром питания на расстоянии а от контура, то ее надо зеркально отобразить относительно контура, т.е. поместить фиктивную скважину с другой стороны от контура на расстоянии а (рис.5.5) и считать ее дебит отрицательным (скважина — источник). При этом потенциал в любой точке М равен

на контуре питания r1= r2 и Ф=С=Фк, а дебит скважины определяется по формуле

(5.36)

Метод отображения источников и стоков используется также для нахождения дебита скважины, работающей в пласте, ограниченном пересекающимися прямолинейными непроницаемыми границами. При помощи этого метода можно определить дебит скважины, эксцентрично расположенной в круговом пласте

(5.37)

где δ- расстояние от центра скважины до центра кругового пласта (эксцентриситет).

Интерференция скважин

Дебит каждой скважины бесконечной цепочки, расположенной на расстоянии L от прямолинейного контура питания (рис.5.6), выражается формулой

(5.38)

где σ - половина расстояния между скважинами.

Если L > σ, то приближенно можно принять, что

и тогда

Дебит одной скважины кольцевой батареи, состоящей из n скважин, в круговом пласте радиуса rk(рис.5.7) имеет вид

(5.40)

где rk- радиус батареи; rc- радиус скважин.

Если число скважин батареи велико (больше пяти или шести), то

и этим выражением можно пренебречь по сравнению с единицей; если, кроме того, заменить получим приближенную формулу

(5.41)