Кратные и криволинейные интегралы

Методические указания по организации самостоятельной работы

для студентов 1 и 2-го курсов трансферных специальностей

Краснодар

УДК 519.1 (0.75.8)+512

Составители:

Канд. физ.-мат. наук доц. С.Н. Горшкова, ст. преп. И.И. Петрушина

Кратные и криволинейные интегралы: Методические указания по организации самостоятельной работы для студентов 1 и 2-го курсов трансферных специальностей. / Сост.: С.Н. Горшкова, И.И. Петрушина. Ин-т совр. технол. и эконом. – Краснодар, 2005, … с.

Методические указания предназначены для студентов 1 и 2-го курсов трансферных специальностей, изучающих курс математического анализа. Даны понятия кратных интегралов, переход от них к повторным, понятия криволинейных интегралов, переход от них к определенным, приведена общая схема их конструкции, подробно рассмотрено и проанализировано решение всех типов задач, связанных с криволинейными и кратными интегралами. Приведены индивидуальные типовые задания по теме.

Работа подготовлена по результатам НИР «Научно-методическое обеспечение содержания образования».

Ил. … Библиогр. … назв.

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Института современных технологий и экономики.

Рецензенты:

канд. техн. наук, доц. Л.М. Данович

канд. техн. наук, доц. А.С. Арутюнян

Двойной интеграл

Понятие двойного интеграла

Рассмотрим в плоскости Оху область σ, имеющую конечную площадь и ограниченную одной или несколькими линиями. Пусть в этой области σ задана функция кратные и криволинейные интегралы - student2.ru . Составим для этой функции интегральную сумму вида

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , (1)

где Δσi – элементарные площадки, получаемые при произвольном делении области σ на n частей, Pi(xi;yi) – точки, произвольно выбираемые на каждой из этих частей. Условимся области и их площади обозначать одинаковыми буквами.

Диаметром замкнутой области называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области.

Шагом разбиения области называется наибольший из диаметров элементарных частей Δσi \ λ – шаг разбиения\. Интегральная сумма зависит от способа разбиения области на элементарные части, от выбора точек Pi , от области σ , от вида функции кратные и криволинейные интегралы - student2.ru . Рассмотрим предел последовательности интегральных сумм (1) при стремлении λ к нулю, т.е. при неограниченном увеличении числа элементарных частей и при стягивании каждой из них в точку.

Если существует конечный предел при кратные и криволинейные интегралы - student2.ru последовательности интегральных сумм (1), не зависящий ни от способа разбиения области на элементарные части Δσi , ни от выбора на каждой из них точек Pi(xi;yi) , то этот предел называется двойным интегралом от функции кратные и криволинейные интегралы - student2.ru по области σ и обозначается

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

То есть

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru (2)

Функция, для которой такой предел существует, называется

интегрируемой в области σ, кратные и криволинейные интегралы - student2.ru - подынтегральная функция, кратные и криволинейные интегралы - student2.ru - подынтегральное выражение, σ – область интегрирования.

Геометрический смысл двойного интеграла

Пусть функция кратные и криволинейные интегралы - student2.ru непрерывна в области σ и кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru . Рассмотрим тело, ограниченное снизу областью σ плоскости Оху, сверху – поверхностью, заданной уравнением кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , сбоку – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz. Такое тело называется цилиндрическим. В этом случае двойной интеграл имеет простое геометрическое толкование.

Объем рассмотренного тела равен сумме объемов цилиндрических столбиков с основанием Δσi , он приближенно равен сумме произведений площадей оснований кратные и криволинейные интегралы - student2.ru на высоты кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , где hi – равны значению функции в произвольно выбранных точках. А это есть интегральная сумма (1).

Точное значение объема дает предел этой суммы при кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , то есть двойной интеграл:

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru (3)

То есть, двойной интеграл численно равен объему цилиндрического тела.

Существование двойного интеграла

Для кратные и криволинейные интегралы - student2.ru существование двойного интеграла кажется очевидным, так как он дает объем тела. В общем случае предел вида (2) существует не для всех функций.

Теорема. Для всякой функции кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , непрерывной в ограниченной замкнутой области, имеющей площадь σ , существует двойной интеграл по этой области.

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Вычислять двойной интеграл, как предел интегральной суммы (2), очень трудно. Чтобы избежать вычислительных трудностей, двойной интеграл сводят к последовательному вычислению двух определённых интегралов.

Посчитаем, что подынтегральная функция кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , это позволит рассматривать двойной интеграл численно равным объёму цилиндрического тела.

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru (3)

Предположим, что область интегрирования ограничена двумя непрерывными кривыми

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru и двумя прямыми кратные и криволинейные интегралы - student2.ru причём при

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Пусть x – произвольная точка, принадлежащая кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , проведём через неё прямую, параллельную оси Oy. Эта прямая пересекает кривые кратные и криволинейные интегралы - student2.ru и кратные и криволинейные интегралы - student2.ru в точках c1 и с2. Их ординаты Yвхода и Yвыхода, тогда

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Теперь посчитаем объём тела с помощью метода поперечных сечений. Известно, что

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru (4)

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru где S(x) – площадь поперечного сечения.

Выберем произвольную точку (x,o,o) и проведём через неё плоскость, перпендикулярную оси Ox, тогда в поперечном сечении получится криволинейная трапеция. Чтобы воспользоваться формулой (4), найдём площадь криволинейной трапеции в этом случае.

Из геометрического смысла определённого интеграла известно, что площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru (5)

где кратные и криволинейные интегралы - student2.ru -функция одной переменной x. Для нашего случая: если абсциссу х зафиксировать, то аппликата точек линии M1M2 зависит только от у, то есть функция кратные и криволинейные интегралы - student2.ru есть функция одного переменного у, и можно применить формулу (5), y изменяется в этом случае от кратные и криволинейные интегралы - student2.ru до кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , тогда

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Подставляя это выражение в равенство (4), получаем

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

или

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru . (6)

Из формулы (3) и (6) следует

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru (7)

Таким образом, чтобы вычислить двойной интеграл, нужно сначала вычислить внутренний интеграл

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Считается при этом, что x – постоянная величина. Так как кратные и криволинейные интегралы - student2.ru и кратные и криволинейные интегралы - student2.ru есть функции, зависящие от x, то результатом вычисления интеграла будет функция, зависящая только от x. Её и нужно проинтегрировать в пределах от a до b. Полученное число и будет значением двойного интеграла.

Пример I. Вычислить в декартовых координатах

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ,

где кратные и криволинейные интегралы - student2.ru - область в плоскости Oxy, ограниченная линиями кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru Решение

Другими словами, надо найти объём тела, ограниченного сверху поверхностью

Z = 4 - y2.

Это параболический цилиндр, развёрнутый вниз “ветвями” и поднятый вверх на 4 единицы. Вычертим теперь область кратные и криволинейные интегралы - student2.ru . Для этого вспомним, что она лежит в плоскости Oxy, то есть z = 0. Тогда из уравнения поверхности при z = 0 получаем y2 = 4,

y = ±2. Кроме того, надо рассмотреть все линии, уравнения которых не содержит z. Эти линии ограничивают область кратные и криволинейные интегралы - student2.ru . Подставив

y = 2 в уравнение кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , получаем

x2 = 4, x = ±2. Возьмём произвольную точку

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru (x,0,0), проведём плоскость, перпендикулярную оси Ox, сечением будет криволинейная трапеция z = 4 – y2, в области кратные и криволинейные интегралы - student2.ru переменная x изменяется от

-2 до +2, переменная y меняется от

yвх = x2/2 до yвых = 2, поэтому

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Замечание. Ввиду симметричности области кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , можно считать кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Таким образом, вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определённых интегралов.

Замечания.

I. Если область интегрирования ограничена двумя непрерывными кривыми

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru и двумя горизонтальными прямыми y = c, y = d, c < d

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ,то, рассуждая аналогично, можно получить

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru (8)

В этом случае при вычислении внутреннего интеграла считаем y постоянной величиной. Результатом этого будет функция, зависящая от y, так как пределы внутреннего интеграла зависят от y. Потом полученную функцию интегрируем в пределах от c до d.

Интегралы, стоящие в правых частях формул (7), (8), называются повторными или двукратными.

2. В формулах вида (7), (8) пределы внешнего интеграла всегда постоянные.

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru 3. Формулы (7), (8) выведены в предположении, что кратные и криволинейные интегралы - student2.ru имеет специальный вид. Если контур области более сложный, то её разбивают на конечное число областей, удовлетворяющих условиям, выдвинутым при выводе формул (7), (8), и интеграл по области кратные и криволинейные интегралы - student2.ru представляют в виде суммы интегралов по слагаемым областям кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

4.Рассмотрим цилиндрическую систему координат, в ней положение точки в пространстве определяется полярными координатами кратные и криволинейные интегралы - student2.ru её проекции на плоскость Oxy и её аппликатой z:

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Тогда

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru (9)

Переход к цилиндрическим координатам часто существенно упрощает вычислительную работу.

Пример 2. Вычислить

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ,

где кратные и криволинейные интегралы - student2.ru - область, ограниченная линией x2 + y2 = 4.

Вычертим цилиндрическое тело, ограниченное сверху поверхностью z = x2 + y2 снизу – кругом x2 + y2 =4, R = 2. Покажем отдельно область кратные и криволинейные интегралы - student2.ru . Ввиду симметрии тела, можно рассматривать его четверть. Возьмём произвольную точку (x,0,0) и проведём через неё плоскость, перпендикулярную оси Ox, получим в сечении криволинейную трапецию

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru z = x2 + y2

где z зависит только от y

/x - фиксирована/.

В области кратные и криволинейные интегралы - student2.ru переменная x меняется от 0 до 2 /мы рассматриваем только четверть/, переменная y меняется от yвх = 0 до кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru Тогда используем формулу (7), (9), получаем x2 + y2 = 4

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.

Из определения двойного интеграла следует, что при кратные и криволинейные интегралы - student2.ru значение двойного интеграла по области кратные и криволинейные интегралы - student2.ru численно равно площади области кратные и криволинейные интегралы - student2.ru :

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Пример 3.

Вычислить площадь, ограниченную следующими линиями:

x = 0, x = 1, y = x, y=2 – x2.

Решение: кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Вычисление объёмов тел с помощью двойных интегралов.

Наиболее сложный этап в задачах такого типа – это построение тела, объём которого необходимо найти /см. примеры 1,2/. Попытаемся вычислять объём тела без точного вычерчивания чертежа. Проанализируем, что нужно для определения объёма тела.

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Необходимо знать поверхность z = f(x,y), ограничивающую тело сверху, область кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , ограничивающую его снизу. Уравнение поверхности всегда задано в условии. Область кратные и криволинейные интегралы - student2.ru можно построить, вспомнив, что она расположена в плоскости oxy, то есть в плоскости z = 0, то есть f(x,y) = 0 и выяснить, какая линия получилась. И дополнительно, если они даны в условии, рассмотреть линии, лежащие в плоскости Oxy. Эти линии определены уравнениями, не содержащими z. Все эти линии ограничивают искомую область кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Продемонстрируем это на примере.

Пример 4.

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

x = 1 – z2, y = x, y = -x

Решение

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru Найдём область кратные и криволинейные интегралы - student2.ru - она ограничивает тело снизу. Для этого положим z = 0, тогда x = 1 –это прямая, параллельная оси Oy. Кроме того, рассмотрим прямые, определяемые уравнениями, не содержащими в своих уравнениях z: y = x, y = -x Построим эти прямые. Область, заключённая между ними, и есть область кратные и криволинейные интегралы - student2.ru . Найдём теперь поверхность z = f(x,y), ограничивающую тело сверху. Для этого из уравнения, содержащего z, выразим его: кратные и криволинейные интегралы - student2.ru Ввиду симметрии тела /см. область/ можно вычислить четверть объёма V /по заштрихованной части/. Возьмём в этой части произвольную точку x и проведём через неё прямую, параллельную оси Oy. В этом случае x изменяется в пределах от 0 до 1, y изменяется от 0 до yвых = x.

Поэтому

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .(ед3)

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru Пример 5.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями

z = y, z = 0, x = 0, x = 4, x2 + y2 =25

Решение.

Сверху тело ограничено поверхностью z = y, снизу – областью кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Найдём её, как пересечение поверхности z = f(x,y) и плоскости z = 0. Тогда из уравнения поверхности получаем y = 0 – это ось Ox. Кроме того, рассматриваем линии, заданные уравнениями, не содержащими z: x = 0, x = 4,

x2 + y2 =25, x =0 – это ось Oy, x =4 – прямая, параллельная оси Oy, x2 + y2 =25 – окружность радиуса R = 5, y = 0 – ось Ox. Часть плоскости, ограниченная этими линиями, есть область кратные и криволинейные интегралы - student2.ru . Возьмём в этой области по оси Ox произвольную точку х и проведём через неё прямую, параллельную оси Oy. Тогда в области кратные и криволинейные интегралы - student2.ru переменная x изменяется от 0 до 4, переменная y изменяется от 0 до окружности, то есть до кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Поэтому

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Замечание.

Иногда для облегчения вычислительной работы удобно в двойном интеграле изменить порядок интегрирования.

Пример 6.Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

Решение.

Дан интеграл кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Чтобы изменить порядок интегрирования следует изобразить область интегрирования. Это можно сделать, если будут известны уравнения линий, ограничивающих эту область. Чтобы получить уравнения линий, ограничивающих область интегрирования, надо пределы интеграла по dx приравнять x, а пределы интеграла по dy приравнять y.

Для нашего случая

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru x = 1. x = 2,

y = 1, y = 3,

x = 2, x = 6,

y = x/2, y = 3

Тогда y изменяется от 1 до 3, x изменяется от 0 до xвых = 2y

Поэтому

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Тройной интеграл.

Пусть в пространстве задано тело, объём которого равен V. Предположим, что в каждой точке этого объёма определена функция кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

1. Разобьем тело на n малых тел кратные и криволинейные интегралы - student2.ru причём кратные и криволинейные интегралы - student2.ru /в дальнейшем V и кратные и криволинейные интегралы - student2.ru обозначают как тела, так и их объёмы/.

2. В каждом из малых тел выбираем произвольным образом по точке кратные и криволинейные интегралы - student2.ru Умножим значение функции кратные и криволинейные интегралы - student2.ru в каждой точке кратные и криволинейные интегралы - student2.ru на соответствующий объём кратные и криволинейные интегралы - student2.ru малого тела, которому принадлежит точка кратные и криволинейные интегралы - student2.ru : кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

3. Составим сумму таких произведений

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru которая называется интегральной суммой.

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru - как и прежде, диаметр наибольшего из разбиений кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Если существует предел последовательности интегральных сумм при кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , не зависящий ни от способа разбиения объёма кратные и криволинейные интегралы - student2.ru на части кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , ни от выбора в каждом из них точки кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , то это число называют тройным интегралом от функции кратные и криволинейные интегралы - student2.ru по области кратные и криволинейные интегралы - student2.ru и обозначают

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru или кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

То есть

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Видно, что тройной интеграл является непосредственным обобщением двойного интеграла на случай, когда областью интегрирования является тело трёх измерений.

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трёх определённых интегралов аналогично тому, как это было сделано для двойного интеграла.

Вычисление объёма тел с помощью тройных интегралов.

Если в тройном интеграле подынтегральная функция кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , то тройной интеграл численно равен объёму тела V. /Следует помнить, что мы одной буквой обозначаем и область, и её объём./

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Этот интеграл далее сводим к повторным интегралам, пределами которых будут пределы изменения переменных x, y, z в данном теле V.

Пример 7.

С помощью тройного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями;

z = y, z = 0, x = 0, x = 4, x2 + y2 = 25

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru Решение.

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru Вначале покажем решение такого типа задач с построением тела. x2 + y2 = 25 – на плоскости Oxy это окружность, в пространстве – круговой цилиндр, x = 4 – на плоскости прямая, в пространстве – плоскость, параллельная плоскости Oyz, x= 0 –плоскость Oyz, z = y – на плоскости Oyz – это биссектриса, в пространстве – плоскость. Тогда можно вычислить тело V. В этом теле переменная x изменяется от 0 до 4, переменная y изменяется от 0 до окружности x2 + y2 = 25, то есть до кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , /см. пример 5/, переменная z изменяется от 0 /плоск. z = 0/ до накрывающей тело поверхности кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , то есть до z = y.

Тогда кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru Пример 8.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

z = 0, z = y2, x – y = 0, x + y =2

Решение.

Решим задачу, не прибегая к точному построению тела.

Поверхность z = f(x,y), ограничивающая тело сверху, есть z = y2. Снизу тело ограничено областью кратные и криволинейные интегралы - student2.ru . Вычертим её. Для этого положим в уравнении поверхности z = 0, тогда y2 = 0, то есть y = 0, и рассмотрим линии, уравнения которых не содержат z: x – y = 0, x + y = 2.

Построим линии: y = 0, y = x, y = 2 – x

Они ограничивают область кратные и криволинейные интегралы - student2.ru . Для такой области удобнее взять внешний интеграл по переменной y, в противном случае, вместо одного пришлось бы вычислять два интеграла. В области кратные и криволинейные интегралы - student2.ru переменная y изменяется от 0 до y1. Найдем y1 как ординату точки пересечения прямых y = x и y = 2 – x.

Имеем: кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Тогда в области кратные и криволинейные интегралы - student2.ru переменная y изменяется от 0 до 1. Возьмём на этом промежутке производную точку y и проведём через неё прямую, параллельную оси Ox, тогда переменная x в области кратные и криволинейные интегралы - student2.ru изменяется от xвх до xвых; xвх – это абсцисса x прямой y = x, то есть xвх = y, а xвых – это абсцисса прямой x + y = 2. Из этого уравнения xвых = 2- y. Аппликата z в теле V изменяется от плоскости z = 0, то есть от 0 до накрывающей тело поверхности z = y2. Поэтому:

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Криволинейный интеграл второго рода.

Векторным полем называется область, каждой точке которой поставлен в соответствие вектор кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , проекции которого на координатные оси являются функциями координат точки M(x,y). P = P(x,y), Q = Q(x,y), то есть кратные и криволинейные интегралы - student2.ru -вектор-функция. /Аналогично в пространстве/.

Пусть в некоторой области задана кривая L /дуга AB/ и вектор-функция кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , определённая в каждой точке кривой L.

1. Разобьем дугу AB точками A0, A1, …, An на n дуг. Пусть (xi,yi) – координаты точек Ai(i=0,1, …,n); кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

2. На каждой дуге выбираем произвольным образом по точке кратные и криволинейные интегралы - student2.ru . Составим скалярное произведение вектора кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , взятого в точке Mi на вектор кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

3. Составим сумму таких произведений /интегральную сумму/ и перейдём к пределу при кратные и криволинейные интегралы - student2.ru . кратные и криволинейные интегралы - student2.ru - длина наибольшего из звеньев ломанной, вписанной в дугу, кратные и криволинейные интегралы - student2.ru - длина наибольшего из звеньев дуг кратные и криволинейные интегралы - student2.ru . При кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , кратные и криволинейные интегралы - student2.ru и каждая из дуг стягивается в точку.

Предел этой интегральной суммы при кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , не зависящий от способа разбиения дуги АВ на элементарные части и от выбора на каждой из них точек Mi , называется криволинейным интегралом II рода или по координатам:

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Вычисление криволинейного интеграла второго рода

I. Пусть дуга L задана параметрическими уравнениями

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Причем функции x(t), y(t) непрерывны и имеют непрерывные производные первого порядка при кратные и криволинейные интегралы - student2.ru . Пусть начальной точке А дуги АВ соответствует значение параметра t= α , конечной точке В соответствует значение t= β и при изменении t от α до β переменная точка M(x,y) описывает дугу в направлении от точки А к точке В. P(x,y), Q(x,y) – непрерывные функции. Тогда эти сложные функции P[x(t),y(t)]; Q[x(t),y(t)] – непрерывны при кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

и получаем формулу, позволяющую свести вычисление криволинейного интеграла II рода к вычислению определенного интеграла:

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

2. Если плоская кривая задана уравнением y = кратные и криволинейные интегралы - student2.ru (x), кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , то из пункта 1 получаем:

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Вывод. Таким образом, исходя из уравнений (или уравнения) линии АВ, преобразуем подынтегральное выражение к одной переменной, значения которой в начале и в конце дуги АВ будут пределами определенного интеграла.

Пример 9.

Вычислить криволинейный интеграл кратные и криволинейные интегралы - student2.ru вдоль дуги параболы y=3x2 от точки А(1,3) до точки О(0,0).

Решение:

Так как кривая задана уравнением y= φ(x) и при перемещении от точки А до точки В переменная х изменяется от хА до хВ , то криволинейный интеграл II рода сводится к определенному интегралу по формуле

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

В нашем случае y=3x2, y’=6x, x изменяется от 1 до 0. Поэтому

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Пример 10.

Вычислить криволинейный интеграл кратные и криволинейные интегралы - student2.ru вдоль дуги L окружности x=cost, y=sint кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Решение

Так как кривая задана параметрически x=x(t), y=y(t), ( кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ), то криволинейный интеграл II рода сводится к определенному интегралу по формуле

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Найдем дифференциалы dx=(cost)’dt=-sintdt

dy=(sint)’dt= cost dt

Тогда

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Криволинейный интеграл первого рода

Рассмотрим в плоскости Оху кривую АВ длины l . Пусть кратные и криволинейные интегралы - student2.ru - непрерывная в точках дуги АВ функция. Разобьем АВ произвольным образом на n частей с длинами кратные и криволинейные интегралы - student2.ru . Выберем на каждой из них произвольным образом по точке Mi , найдем значения функции в этих точках и составим сумму вида кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru (интегральную сумму).

Если существует предел этой суммы при кратные и криволинейные интегралы - student2.ru и не зависит от способа разбиения области на элементарные части, от выбора точек Mi , то он называется криволинейным интегралом I рода или по длине дуги.

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Вычисление криволинейного интеграла I рода

1. Если линия задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), ( кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ), то криволинейный интеграл I рода сводится к определенному интегралу по формуле

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

2. Если линия задана уравнением y=y(x), кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , то справедлива формула

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Замечание.

Анализируя определения двойного, тройного, криволинейных интегралов, замечаем общность их конструкции. Сделаем общую схему их определения

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru
1. Выбираем точку
кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru
2. Составляем произведение
кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru
3. Составляем интегральную сумму
кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru
4. Переходим к пределу при кратные и криволинейные интегралы - student2.ru
кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Приложения криволинейных интегралов

1. Длина дуги кривой кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

2. Масса материальной кривой с кратные и криволинейные интегралы - student2.ru - линейной плоскостью

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

3. Работа силы кратные и криволинейные интегралы - student2.ru при перемещении материальной точки вдоль дуги кривой L:

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

4. Площадь фигуры, лежащей в плоскости Оху и ограниченной замкнутой линией L:

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru или кратные и криволинейные интегралы - student2.ru или кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ,

где кратные и криволинейные интегралы - student2.ru - интеграл по замкнутому контуру L.

5. Координаты центра тяжести дуги с линейной плотностью кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ; кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Пример 11.

Вычислить криволинейный интеграл кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , где L – отрезок прямой, заключенный между точками А(0,-4) и В(2,0)

Решение

Уравнение прямой, соединяющей точки А и В :

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Так как кривая L задана уравнением, то криволинейный интеграл I рода, взятый по этой кривой, сводится к определенному интегралу по формуле

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Найдем кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Значит

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Пример 12.

Вычислить криволинейный интеграл кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ,

где L – первая арка циклоиды x=a(t-sint)

y=a(1-cost) кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Решение

Так как кривая задана параметрическими уравнениями, то криволинейный интеграл в этом случае сводим к определенному интегралу по формуле

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Вычисляя дифференциалы

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ,

находим дифференциал дуги

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Тогда

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Пример 13.

Вычислить криволинейный интеграл кратные и криволинейные интегралы - student2.ru взятый вдоль пространственной кривой L - части винтовой линии

x=4cost, y=4sint, z=3t кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Решение

В этом случае криволинейный интеграл сводится к определенному по формуле

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Вычисляя дифференциалы

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ; кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ; кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

получаем дифференциал дуги

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Тогда

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Пример 14.

При помощи криволинейного интеграла найти длину дуги кривой

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , кратные и криволинейные интегралы - student2.ru между точками пересечения ее с осями координат.

Решение

Для этого воспользуемся формулой кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Найдем точки пресечения кривой с осями координат:

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Таким образом, t изменяется от 0 до кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Пример 15.

Пользуясь криволинейным интегралом, найти площадь, ограниченную кривой

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Решение

Воспользуемся формулой для вычисления площади фигуры, расположенной в плоскости хОу и ограниченной замкнутой линией L:

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Данная кривая

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru - это эллипс с полуосями a=2, b=3.

Переходя к параметрическим уравнениям эллипса

x=2cost, y=3sint, кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ,

преобразуем криволинейный интеграл к определенному так:

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Пример 16.

Найти массу дуги кривой x=8t, y=4t2, ( кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ),

если плотность в каждой точке кривой пропорциональна корню квадратному из ординаты этой точки (коэффициент пропорциональности к=1/2).

Решение

Воспользуемся в этом случае формулой

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , где кратные и криволинейные интегралы - student2.ru - плотность. В нашем случае кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Найдем

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Тогда

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru (ед).

Пример 17.

Вычислить работу, совершаемую силой кратные и криволинейные интегралы - student2.ru при перемещении материальной точки по дуге кривой кратные и криволинейные интегралы - student2.ru от точки О(0,0) до точки А(2,10).

Решение

Воспользуемся формулой

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Подставляем данные задачи в эту формулу

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Найдем

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Тогда

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

кратные и криволинейные интегралы - student2.ru (ед).

Индивидуальные задания для самостоятельной работы.

I. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. Область интегрирования изобразить на чертеже.

1.1. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

1.2. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

1.3. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

1.4. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

1.5. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

1.6. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

1.7. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

1.8. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

1.9. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

1.10. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

1.11. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

1.12. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

1.13. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

1.14. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

1.15. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

1.16. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

1.17. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

1.18. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

1.19. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

1.20. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

II. Пользуясь двойным интегралом, найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.

2.1. y = x, x = 2, xy = 1

2.2. xy = 6, x+y = 7

2.3. y = -x2+4x-1, y = -x-1

2.4. y = x2+2x, x-y = -2

2.5. y = x, y = 2x, x+y = 6

2.6. y2 = x, x+y = 2

2.7. y = x2, y = 4-x2

2.8. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru x = 4

2.9. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

2.10. x = y2, 4x-6y+2 = 0

2.11. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru кратные и криволинейные интегралы - student2.ru x = 9

2.12. y2 = 2x+1, y = x-1

2.13. y = x2, x+y = 2, x = 2

2.14. y = x2, y = 3-2x

2.15. y = 2x-2, x+y = 7, y = 0, y = 2

2.16. y-x = 0, 2x-y = 6, y = 0

2.17. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru x+y = 2, y = 0

2.18. y = x2, y = 2x

2.19. кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , x = 0, y = 0

2.20. x = y2, y = x3

III. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями. Область интегрирования изобразить на чертеже.

3.1. z = 4-y2, z = y2+2, x = -1, x = 2

3.2. z = x2-y2, z = 0, x = 3

3.3. z = x2+y2, z = x2+2y2, y = x, y = 2x, x = 1

3.4. z = x, z = 0, x2+y2 = 4, кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

3.5. z = y-x2, 4 x2 = y, y = 1, z = 0

3.6. z = x2+y2+1, x = 2, y = 3, x = 0, y = 0, z = 0

3.7. z = x2+y2, x+y = 1, x = 0, y = 0, z = 0

3.8. z = 2x2+y2, x+y = 2, x = 0, y = 0, z = 0

3.9. z = x2+y2, y = x2, y = 1, z = 0

3.10. z = 4-x2, кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , x = 0, y = 0, z = 0

3.11 z = x2 + y2, y = кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , x + y =2, z = 0, x =0

3.12 z = 9-y2, 3x+4y = 12, x = 0, y = 0, z = 0, y кратные и криволинейные интегралы - student2.ru 0

3.13 z = 4-x, y = 4x2, y = 0, z = 0

3.14 z = 4-y2, кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , z = 0

3.15 z=x2+y2, кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , x+y = 2, z = 0, y = 0

3.16. z = 3y, z = 0, x+y = 4, кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

3.17 x = 15-z-y, z = 0, x = 5, y = 5

3.18. z = x2, z = 0, 2x-y = 0, x+y = 9

3.19 z = y2-x2, z = 0, y = 3

3.20 z = x2+y2+1, x = 4, y = 4, x = 0, y = 0

IV. Вычислить криволинейные интегралы вдоль заданных контуров.

4.1 кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , где L – отрезок прямой от точки О(0,0) до точки B (4,3)

4.2 кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , где L – отрезок прямой от точкиA(-1,1) до точки B (1,1)

4.3 кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , где L – дуга параболы y = x2 от A(-1,1) до B(1,1)

4.4 кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , где L – отрезок прямой от A(1,2) до B(2,4)

4.5 кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , где L – отрезок прямой от A(0.-2) до B(4,0)

4.6 кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , где L – дуга циклоиды кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

4.7 кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , где L – отрезок прямой, соединяющей точки M(2,0) и N(4,2)

4.8 кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , где L – отрезок прямой, соединяющей точки O(0,0) и A(4,3)

4.9 кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , где L – отрезок прямой, соединяющей точки O(0,0) и A(1,2)

4.10 кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , где L – дуга кривой кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

4.11 кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , где L – окружность x2 + y2 = 4

4.12 кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , где L – отрезок прямой от точки A(0,0) до B(1,2)

4.13 кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , где L – отрезок прямой от точки M(0,1) до B(2,3)

4.14 кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , где L - отрезок прямой y = кратные и криволинейные интегралы - student2.ru x от точки O(0,0) до B(2,1)

Наши рекомендации