Раздел 2. Векторная алгебра

Абсолютная величина вектора см. Модуль вектора.

Абсцисса – первая координата вектора или точки в декартовой системе координат.

Антикоммутативное свойство (Антикоммутативность) векторного произведения двух векторов: при перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный, т.е. a´b = - b´a.

Аппликата – третья координата вектора или точки в декартовой системе координат.

Базис n-мерного векторного пространства (Базисные векторы) – совокупность n линейно независимых векторов этого пространства, линейными комбинациями которых можно представить любой вектор пространства.

См. Ортонормированный базис.

Базис трехмерного пространства (Базис в пространстве) – упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Базис на плоскости – упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

Базисные векторы см. Базис n-мерного пространства.

Базисные векторы декартовой прямоугольной системы координат – единичные ортогональные векторы i, j на плоскости и единичные попарно ортогональные векторы i, j, k в пространстве.

Вектор (Векторная величина, геометрический вектор) – направленный отрезок прямой. Пояснение. Вектор является величиной, полностью определенной своим направлением и длиной. Обозначение: a, .

См. Единичный, нулевой, свободный, связанный вектор; коллинеарные, компланарные, линейно зависимые, линейно независимые векторы.

Векторная алгебра – раздел математики, изучающий алгебраические операции над векторами.

Векторная величина см. Вектор.

Векторное произведениедвух векторов a и b - вектор c, определяемый следующими тремя условиями:

а) модуль вектора c, численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b как на сторонах, т.е. |c| = |a|×|b|×sin j, где j = Ð(a,b);

б) вектор c ортогонален векторам a и b;

в) вектор c направлен так, что векторы a, b, c образуют правую тройку.

Обозначения: a´b = c, [a, b] = c, [ab] = c.

Векторно-скалярное произведение векторов см. Смешанное произведение векторов.

Вектор-столбец – запись вектора, при которой его координаты располагаются вертикально.

Вектор-строка– запись вектора, при которой его координаты располагаются горизонтально.

Геометрический вектор см. Вектор.

Граничные точки отрезка см. Концевые точки отрезка.

Декартова прямоугольная система координат в пространстве- система координат, заданная тремя взаимно ортогональными единичными векторами, называемыми ортами.

Декартова прямоугольная система координат на плоскости- система координат, заданная двумя взаимно ортогональными единичными векторами, называемыми ортами.

Декартовы координаты вектора- проекции вектора на оси координат декартовой системы координат.

Обозначение: a_x, a_y, a_z - координаты вектора a; a = a_x i + a_y j + a_z k = (a_x, a_y, a_z).

Длина вектора см. Модуль вектора.

Единичный вектор – вектор, модуль которого равен единице.

Обозначение: a^o, e. См. Орт.

Квадрант – одна из четырех областей, на которые плоскость делится двумя взаимно перпендикулярными прямыми.

Коллинеарность векторов- свойство векторов быть коллинеарными.

Коллинеарные векторы - векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначение: a||b.

Компланарность- свойство векторов быть компланарными.

Компланарные векторы– векторы, расположенные в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Компонента см. Координата.

Концевые точки отрезка(Граничные точки отрезка) - точки, между которыми заключен отрезок прямой.

Координата (компонента, составляющая) вектора в декартовой системе координат – проекция вектора на соответствующую ось координат.

Обозначение координат вектора a: a_x, a_y, a_z.

Координатная плоскость – плоскость, проходящая через две координатные оси из трех.

Координатные оси (Оси координат) – числовые прямые, имеющие общую нулевую точку (начало координат).

Координаты точки – 1) числа, определяющие положение точки на плоскости или в пространстве; 2) координаты радиус-вектора этой точки.

Левая тройка векторов - тройка векторов, не являющаяся правой.

Линейная комбинация n векторов – сумма произведений этих векторов на произвольные скаляры (числа), называемые коэффициентами:

l₁a₁+ l₂a₂ +…+ l_na_n.

Линейно зависимые векторы – векторы, линейная комбинация которых равна нулю, если не все коэффициенты равны нулю.

Линейно независимые векторы – векторы, линейная комбинация которых равна нулю только при условии, когда все коэффициенты равны нулю.

Линейные операции над векторами – это операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Многогранник (Многогранная поверхность) – поверхность, образованная из многоугольников (граней поверхности) так, что каждая сторона любого из этих многоугольников (ребро поверхности) является стороной еще одного многоугольника.

Многоугольник – замкнутая ломаная линия на плоскости.

Модуль вектора (Длина вектора, Абсолютная величина вектора) – число, равное расстоянию между его началом и концом. Обозначение: |a|, | |.

Направляющий косинус вектора– косинус соответствующего направляющего угла.

Направляющий угол вектора– угол, образуемый вектором и соответствующей осью координат декартовой системы.

Начало координат– точка пересечения координатных осей, являющаяся началом отсчета. Обозначение: O.

Нулевой вектор– вектор, модуль которого равен нулю.

Пояснение. Начало и конец нулевого вектора совпадают. Обозначение: o.

Объем тела – мера пространственных тел, не меняющая своего значения при движении тела и равная единице на единичном кубе.

Октант - одна из восьми областей, на которые трехмерное пространство делится тремя взаимно перпендикулярными плоскостями.

Ордината– вторая координата вектора или точки в декартовой системе координат.

Ориентация векторов– взаимное расположение трех векторов в пространстве; три вектора могут быть с правой или левой ориентацией. Такие векторы образуют правую или левую тройку векторов соответственно.

См. Правая тройка векторов.

Орт - единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a. Обозначение: a^o.

Ортогональность– свойство векторов быть ортогональными.

Ортогональные векторы– 1) векторы, угол между которыми является прямым; 2) векторы, скалярное произведение которых равно нулю.

Ортонормированный базис – базис векторного пространства, образованный единичными попарно ортогональными векторами.

Острый угол между векторами– угол, значение которого меньше 90^о.

Оси координат см. Координатные оси.

Ось– прямая, на которой указаны начало отсчета, единица и положительное направление.

Ось абсцисс (Ось x) – первая ось в декартовой системе координат на плоскости или в пространстве.

Ось аппликат (Ось z) – третья ось в декартовой системе координат в пространстве.

Ось ординат (Ось y) – вторая ось в декартовой системе координат на плоскости или в пространстве.

Отрезок прямой(Отрезок) – часть прямой, заключенная между двумя ее точками и включающая обе эти точки.

Параллелепипед– призма, основаниями которой являются параллелограммы.

Параллелограмм – плоский четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Параллельный перенос (сдвиг) – перемещение фигуры, при котором каждая точка перемещается на один и тот же вектор.

Параллельный сдвиг см. Параллельный перенос.

Пирамида– многогранник, одной их граней которого является многоугольник (обычно это основание), а остальные грани – треугольники с общей вершиной.

Площадь плоской фигуры – неотрицательная функция геометрической фигуры на плоскости, сохраняющая свое значение при движениях и удовлетворяющая условию, что единичный квадрат имеет площадь, равную единице.

Полный угол – угол, равный 360^о.

Правая (Правоориентированная) тройка векторов – три некомпланарных вектора, удовлетворяющих условиям:

1) они упорядочены, и третий вектор направлен по направлению осевого движения правого винта при повороте по наименьшему углу от первого вектора ко второму;

2) они упорядочены и наблюдателю, находящемуся внутри телесного угла, образованного этими векторами, кратчайшие повороты от первого вектора ко второму и от второго к третьему кажутся происходящими против часовой стрелки;

3) они упорядочены и из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден совершающимся против часовой стрелки.

Пояснение. Приведены три равносильных условия (определения) правой тройки векторов.

Правило параллелограмма– графическое правило образования суммы двух векторов.

Правило треугольника- графическое правило образования суммы двух векторов.

Призма – многогранник, две грани (основания) которого – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые грани) – параллелограммы.

Проекция вектора на вектор– число, равное модулю вектора, проекция которого находится, умноженному на косинус угла между векторами.

Произведение вектора a на скаляр (число) l – вектор, обозначаемый la, такой что:

а) его модуль равен произведению модулей исходного вектора и скаляра, т.е.

|la| = |l|×|a|;

б) новый вектор и исходный вектор коллинеарны, т.е. a || la;

в) векторы a и la сонаправлены, если l > 0, и противоположно направлены, если l < 0.

Противоположные векторы– два коллинеарных вектора, имеющих одинаковые модули и противоположные направления. Обозначение вектора, противоположного вектору a: – a.

Прямой угол– угол, равный своему смежному углу; в градусной мере равен 90^o, в радианной мере p/2.

Прямоугольные декартовы координаты – координаты, базис которых состоит из попарно ортогональных единичных векторов.

Равные векторы – векторы, являющиеся коллинеарными, одинаково направленными и имеющие равные модули.

Радиус-вектор точки P – вектор , начало которого находится в начале координат O, а конец – в рассматриваемой точке P.

Развернутый угол – угол, стороны которого составляют одну прямую; в градусной мере равен 180^o, в радианной мере p.

Свободный вектор– множество всех векторов, равных данному вектору, т.е. множество всех векторов с одинаковым модулем и направлением, но с различными начальными точками.

Связанный вектор– вектор с фиксированной начальной точкой.

Скаляр (Скалярная величина) – величина, которая полностью характеризуется одним числом.

Скалярная величинасм. Скаляр.

Скалярное произведение двух векторов– число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение: ab, a×b, (a,b).

Скалярный квадрат- скалярное произведение вектора на самого себя.

Обозначение: a².

Сложение векторовсм. Сумма двух векторов.

Смешанное (Векторно-скалярное) произведение трех векторов – число, полученное по правилу: (a´b)×c), т.е. первые два вектора перемножаются векторно, а результат умножается на третий вектор скалярно. Обозначение: abc, (abc).

Составляющаясм. Координата.

Сумма двух векторов – новый вектор, получаемый по правилу треугольника или параллелограмма. Обозначение: a + b = c.

Тетраэдр– треугольная пирамида, т.е. пирамида, основанием которой является треугольник.

Пояснение. Тетраэдр имеет четыре треугольных грани, шесть ребер и четыре вершины.

Треугольная призма – призма, основания которой – треугольники.

Треугольник– многоугольник, имеющий три вершины и три стороны.

Тупой угол– угол, больший прямого, но меньший развернутого.

Угол между двумя векторами– наименьший угол, на который нужно повернуть один из векторов до совмещения с другим.

См. Острый, полный, прямой, развернутый, тупой угол.

Умножение вектора на скаляр – операция отыскания произведения вектора на скаляр. Обозначение: la = b.

Упорядоченная тройка векторов – три вектора, если указано, какой из них является первым, какой – вторым и какой – третьим.